En esta pregunta, dos posibles topologías fueron propuestos para el juego de poder de un conjunto $X$ con una topología $\mathcal T$: un compuesto de todos los conjuntos de subconjuntos de a $X$ cuya unión se $\mathcal T$-abiertos, un compuesto de todos los conjuntos de subconjuntos de a $X$ cuya intersección se $\mathcal T$a abrir. He demostrado lo que hay que ni la construcción de tales deben ser una topología en $\mathcal P(X)$ en general. (El último será una topología tal si, y sólo si $\mathcal T$ es discreto. Si sabemos que $\mathcal T$$T_1$, entonces la primera será una topología si y sólo si $\mathcal T$ es discreto.)
Esto me llevó a preguntarme si hay alguna manera de inducir una topología en $\mathcal P(X)$ a partir de una topología en $X$? Algunas de búsqueda muestra que una forma "natural" de hacerlo es dar a $\mathcal P(X)$ la topología de pointwise la convergencia de las funciones de los indicadores $X\to\{0,1\}.$ Este es sin duda muy bueno, pero todavía estoy curioso:
Hay otras maneras de inducir una topología en $\mathcal P(X)$ desde cualquier topología en $X$? Por supuesto, me gustaría para diferentes topologías en $X$ dar lugar a diferentes (aunque potencialmente homeomórficos, por supuesto) topologías en $\mathcal P(X).$
(Como un bono pregunta, ¿alguien puede pensar que no-$T_1$ topologías para que la primera construcción descrito anteriormente es una topología, o una prueba de que no no$T_1$ topología puede existir? Con mucho gusto le upvote ningún ejemplo de ello/y a prueba de enlace desde mi respuesta a la pregunta anterior.)
