Maneras de inducir una topología en juego de poder?

Question

En esta pregunta, dos posibles topologías fueron propuestos para el juego de poder de un conjunto $X$ con una topología $\mathcal T$: un compuesto de todos los conjuntos de subconjuntos de a $X$ cuya unión se $\mathcal T$-abiertos, un compuesto de todos los conjuntos de subconjuntos de a $X$ cuya intersección se $\mathcal T$a abrir. He demostrado lo que hay que ni la construcción de tales deben ser una topología en $\mathcal P(X)$ en general. (El último será una topología tal si, y sólo si $\mathcal T$ es discreto. Si sabemos que $\mathcal T$$T_1$, entonces la primera será una topología si y sólo si $\mathcal T$ es discreto.)

Esto me llevó a preguntarme si hay alguna manera de inducir una topología en $\mathcal P(X)$ a partir de una topología en $X$? Algunas de búsqueda muestra que una forma "natural" de hacerlo es dar a $\mathcal P(X)$ la topología de pointwise la convergencia de las funciones de los indicadores $X\to\{0,1\}.$ Este es sin duda muy bueno, pero todavía estoy curioso:

Hay otras maneras de inducir una topología en $\mathcal P(X)$ desde cualquier topología en $X$? Por supuesto, me gustaría para diferentes topologías en $X$ dar lugar a diferentes (aunque potencialmente homeomórficos, por supuesto) topologías en $\mathcal P(X).$

(Como un bono pregunta, ¿alguien puede pensar que no-$T_1$ topologías para que la primera construcción descrito anteriormente es una topología, o una prueba de que no no$T_1$ topología puede existir? Con mucho gusto le upvote ningún ejemplo de ello/y a prueba de enlace desde mi respuesta a la pregunta anterior.)

Answer 1

Puede imitar la construcción de varios hyperspaces para extender más allá de los subconjuntos cerrados de un espacio.

Para introducir una notación, dado un conjunto $X$ y un subconjunto $A \subseteq X$, podemos definir $$[A]^+ = \{ Z \subseteq X : Z \subseteq \}; \\ [A]^- = \{ Z \subseteq X : Z \cap a \neq \varnothing \} .$$

Un par de ejemplos, vamos a arreglar un espacio topológico $X$:

1. Considerar la topología en $\mathcal{P}(X)$ generado por los conjuntos de la forma

   • $[ U ]^+$ para abrir $U \subseteq X$; y
   • $[ U ]^-$ para abrir $U \subseteq X$.

   El subespacio de este espacio que consta de los subconjuntos cerrados de $X$ se llama la Vietoris (o finito o exponencial) de la topología.

2. Considerar la topología en $\mathcal{P} (X)$ generado por los conjuntos de la forma

   • $[X \setminus K]^+$ compacto $K \subseteq X$; y
   • $[U]^-$ para abrir $U \subseteq X$.

   El subespacio de este espacio que consta de los subconjuntos cerrados de $X$ se llama Cayó de la topología. (De la nota, en particular, el Cayó topología siempre es compacto (aunque no necesariamente de Hausdorff).)

Answer 2

Vamos a ser un conjunto abierto si está vacío o de la forma $\mathcal{P}(X)\backslash\big\{\{x\}:x\in C\big\}$ para un conjunto cerrado C.