Hay un patrón general detrás de la expansión decimal de $\frac{1}{7}$$.14+.0028+.000056+.00000112+...=.\overline{142857}$?

Question

Me preguntaba si todas las expansiones decimales de $\frac{1}{n}$ podría ser pensado de tal manera, pero claramente para $n=6$,

$$.12+.0024+.000048+.00000096+.0000000192+...\neq.1\bar{6}$$

¿Por qué se hace para 7 pero no a las 6? Hay sólo un número por la base, es decir, 7 en base 10? Si es así ¿cuál es la fórmula general?

Answer 1

La expansión en el título de la fórmula es efectivamente $\displaystyle \sum_1^\infty 7 \times \left(\frac{2}{100}\right)^n = 7 \times \frac {1}{49} = \frac {1}{7}$

Más simple similares podría ser $\displaystyle \sum_1^\infty 2 \times \left(\frac{2}{10}\right)^n = 2 \times \frac {1}{4} = \frac {1}{2}$, es decir, $0.4 + 0.08 +0.016 + \cdots = 0.5$ o $\displaystyle \sum_1^\infty 3 \times \left(\frac{1}{10}\right)^n = 3 \times \frac {1}{9} = \frac {1}{3}$, es decir, $0.3 + 0.03 +0.003 + \cdots = 0.333\ldots$ o $\displaystyle \sum_1^\infty 1 \times \left(\frac{5}{10}\right)^n = 1 \times \frac {1}{1} = 1$, yo.e $0.5 + 0.25 +0.125 + \cdots = 1$.

Para obtener $\frac {1}{6}$, una posibilidad, aunque no es tan bonito, es $\displaystyle \sum_1^\infty 4 \times \left(\frac{4}{100}\right)^n$ es decir $0.16 + 0.0064 + 0.000256 + \cdots = 0.1666\ldots$.

Un enfoque para la obtención de $\frac {1}{k}$ es buscar un múltiplo de $k$ (es decir $mk$) que es uno menos que un número cuyos factores primos se $2$ o $5$. A continuación, $mk+1$ dividirá algún poder de $10$ (es decir $10^h =g (mk+1)$). Entonces usted será capaz de escribir $\displaystyle \sum_1^\infty m \times \left(\dfrac{g}{10^h}\right)^n = m \times \frac {1}{mk} = \frac {1}{k}$. En el ejemplo original $k=7, m=7, g=2, h=2$, pero aparte de tener $k=m$ como en mis próximos tres ejemplos, no hay nada particularmente especial.

Answer 2

Su expansión viene del hecho de que se puede escribir: $$\frac{1}{7}=\frac{7}{50}\sum_{k=0}^\infty 50^{-k}=0.14(1+2\cdot0.01+4\cdot0.0001+\ldots)$$ Usted puede comprobar la igualdad mediante el estándar resultado que para $|q|<1$$\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-k}$.

No funciona para $6$ porque si quería una estructura similar a la suma, tendríamos: $$\frac{1}{6}=\frac{49}{6\cdot50}\sum_{k=0}^\infty 50^{-k}$$ y la fracción de la izquierda no tiene un decimal finito de expansión.

Answer 3

Usted está tratando de extender su observación de que $$.14+.0028+.000056+.00000112+\dots = \frac17 = \frac7{49}$$ en dos direcciones, que no coinciden. El derecho identidades son: $$.12 + 0.0024 + 0.000048 + \dots = \frac{6}{49}$$ y $$.16 + 0.0064 + 0.000256 + \dots = \frac{1}{6}.$$

Estos tres números son soluciones de las ecuaciones $$\begin{align} x &= .14 + \frac{2x}{100} && \implies x = \frac1{7} \\ x &= .12 + \frac{2x}{100} && \implies x = \frac6{49} \\ x &= .16 + \frac{4x}{100} && \implies x = \frac1{6} \end{align}$$ respectively. (Note that to double the number and also shift it two places to the right corresponds to multiplying it by $\dfrac{2}{10^2}$.)

Una generalización que cubre todos ellos es este

Hecho: Supongamos que usted escribe algunas de partida número de $s$ (como $0.14$ o $0.12$ o $0.16$ en los ejemplos de arriba), después, sucesivamente, se multiplica por algunos proporción de $r<1$ (como $\frac{2}{100} or \frac{2}{100} or \frac{4}{100}$ en los ejemplos de arriba) y agregar. A continuación, el número resultante es la solución a $$x = s + rx,$$ namely $x = \dfrac{s}{1-r}$.

[Si usted se preocupa por la prueba, es sencillo: su definición de $x$ es que el $x = s + sr + sr^2 + \dots$, que es igual a $\dfrac{s}{1-r}$ mediante el uso de series geométricas, que es lo que la ecuación también se da.]

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Este hecho le permite hacer dos cosas.

Uno, usted puede escribir absolutamente cualquier expresión que te gusta (de la "multiplicar-se-por-r-y repetir" tipo), y encontrar el simple fracción es igual a: por ejemplo, si escribes $0.2 + 0.06 + 0.018 + 0.0054 + \dots$ (cada término es el término anterior se triplicó y se desplazan de un lugar a la derecha, es decir, multplication por $r = \frac{3}{10}$), a continuación, inmediatamente puede decir que el número es $\displaystyle \frac{0.2}{1-\frac{3}{10}} = \frac{2}{10 - 3} = \frac27$.

Dos (más útil), para muchos fracciones, usted puede calcular sus dígitos sin división real. Dada una fracción $a/b$, acaba de encontrar un múltiplo de $b$ que está cerca de un poder de $10$, decir $10^d = mb + n$. Entonces $$\frac{a}{b} = \frac{ma}{10^d - n} = \frac{ma/10^d}{1 - n/10^d},$$ así que usted puede calcular $a/b$ por escrito las $ma/10^d$, a continuación, en cada paso multiplicando el último término por $n$, desplazamiento, se $d$ lugares a la derecha, y la adición. Por ejemplo, dada la fracción $\frac{7}{12}$, tenga en cuenta que $12 \times 8 = 100 - 4$, así que usted puede comenzar con $7 \times 8/100 = 0.56$, y cada vez que multiplicar por $4/100$ y añadir: $$\frac{7}{12} = 0.56 + 0.0224 + 0.000896 + 0.00003584 + \dots$$ (tenga en cuenta que $896 = 4 \times 224$, etc.) [En realidad, este resulta ser muy simple $0.583333\dots$, así que para este ejemplo en particular directos de división puede haber sido mejor.]

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Se le preguntó sobre otras bases. En base a $b$, que corresponde a la base de $10$ ejemplo $$.14+.0028+.000056+.00000112+\dots$$ si se toma el número de $$x = s + s(2/b^2) + s(2/b^2)^2\dots, \quad (\text{ where } s = 2n/b^2)$$ a continuación, $x = \dfrac{2n/b^2}{1-2/b^2} = \dfrac{2n}{b^2 - 2} = \dfrac{n}{b^2/2 - 1}.$

Si desea $x = 1/n$,$n^2 = b^2/2 - 1$. Así que usted tendrá una solución de $n$ sólo para bases de $b$ donde $b^2 = 2n^2 + 2$ algunos $n$, no para todas las bases. De hecho, el conjunto de $(n, b)$ que se puede obtener a partir de la resolución de una Pell-escriba la ecuación de $n^2 - 2(b/2)^2 = -1$: las soluciones están dadas por, si $(1 + \sqrt{2})^k = a_k + b_k\sqrt{2}$ donde $k$ es impar, entonces $n = a_k$, $b = 2b_k$. Así, en particular, las primeras soluciones son

$$k=1 (n=1, b=2): 1/1 = 0.1_2 + 0.01_2 + 0.001_2 + \dots = 0.11111_2$$ (el camino de $0.\overline{9} = 1$), $$k=3 (n=7, b=10): 1/7 = 0.14 + 0.0028 + 0.000056 + \dots = 0.142857\dots$$ $$k=5 (n=41, b=58): 1/41 =$$ bueno, yo no puedo decidir sobre los símbolos a utilizar en base a $58$, pero usted consigue la idea. No existen otras soluciones en el medio. Así que, en cierto sentido, $7$ $10$ son especiales, en que el lado menor de la base es tan grande como $58$.

Sin embargo, si usted no se limitan a sí mismo a los números de $s = 2n/b^2$ (como en el número de partida de ser $.14$$n=7, b = 10$) y $r = 2/b^2$, entonces hay muchas soluciones en base a $10$ como se explicó anteriormente, o de hecho en cualquier base. Por ejemplo, en base a $5$, tenemos $$\frac{1}{11} = \frac{11}{5^3 - 4} = \frac{21_5/5^3}{1 - 4/5^3} = 0.021_5 + 0.000134_5 + 0.000001201_5 + \dots$$ (tenga en cuenta que en base a$5$, $21_5 \times 4 = 134_5$ $134_5 \times 4 = 1201_5$ etc.)

Answer 4

Por favor rectificar mí como yo no podía encontrar la siguiente expresión explícitamente

$$\frac17=\frac{14}{98}=\frac{14}{100\left(1-\frac2{100}\right)}=\frac{14}{100}\left(1-0.02\right)^{-1}$$

$$=0.14[1+0.02+(0.02)^2+(0.02)^3+\cdots]$$