Ejemplo más sencillo de un Poset que no es una Celosía

Question

Un conjunto parcialmente ordenado $(X, \leq)$ se llama una celosía si para cada par de elementos de a $x,y \in X$ tanto en el infimum y suprememum del conjunto $\{x,y\}$ existe. Estoy tratando de conseguir una intuición de cómo un conjunto parcialmente ordenado puede no ser una celosía. En $\mathbb{R}$, por ejemplo, una vez que los dos elementos son seleccionados de la completitud de los números reales garantiza la existencia de ambos el infimum y supremum. Ahora, si nos restringimos nuestra atención a un intervalo no degenerado $(a,b)$ es claro que no hay dos puntos en $(a,b)$ tienen un suprememum o infimum en $(a,b)$.

Es esta la manera correcta de pensar de un poset que no es una red? Es tal vez el mayor ejemplo que daría más claridad?

Answer 1

El conjunto $\{x,y\}$ que $x$ $y$ son incomparables es un poset que no es una de las redes, ya $x$ $y$ no tienen ni un común inferior ni comunes límite superior. (De hecho, este es el más simple de ejemplo.)

Si quieres un poco menos tonto ejemplo, en la colección de $\{\emptyset, \{0\}, \{1\}\}$ ordenado por inclusión. Este es un poset, pero no una celosía desde $\{0\}$ $\{1\}$ no tienen en común límite superior.

Answer 2

(Las respuestas anteriores son buenas, por supuesto, pero siempre es útil tener una imagen en la mente.)

Answer 3

En el DAG de un entramado cada par de elementos debe tener un común sucesor (y por lo tanto un sucesor es el sup) y predecesor (inf).

No-ejemplos: no se precursor común para 1 y 2:

  3
 / \
1   2

No común sucesor 2 y 3:

2   3
 \ /
  1

No común sucesor ni predecesor para 1 y 2:

1   2

Ser una red implica que el poset está conectado, y el de arriba no está conectado.

Answer 4

No entiendo tu ejemplo. En cualquier total de la orden, el infimum existe y es igual a la menor de los dos elementos, y el supremum existe y es igual al mayor de los dos elementos. Esto es cierto tanto en$\mathbb{R}$$(a, b)$, y la integridad no tiene ninguna parte en la discusión. (Integridad es acerca de la existencia de la suprema y infima de infinitos conjuntos.)

Ya que las dos nociones son dual, voy a restringir a mí mismo para hablar sobre el supremum. El supremum puede no existir en dos formas:

• No puede haber límites superior. Por ejemplo, no antichain (con al menos dos elementos) ha suprema (a menos $x = y$).
• El conjunto de límites superior no puede tener por lo menos un elemento. Por ejemplo, en los cuatro elementos-poset $\{ a_1, a_2, b_1, b_2 \}$ $a_i \ge b_j$ todos los $i, j$, el supremum de $\{ b_1, b_2 \}$ no existe.

Answer 5

Aquí un simple ejemplo, considere la $\{0,1,2\}$ con el fin de $$\{(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(0,2)\}$$ este es de hecho un poset (la verificación simple) pero no es una celosía porque no tiene ningún tipo de supremum de $1$$2$, yo.e $1 \lor 2$.