Dos complejos CW con grupos de homotopía isomorfo y homología, pero no de homotopía equivalente

Question

Un ejemplo estándar de dos CW complejos que han isomorfo homotopy grupos, pero no son homotopy equivalente es$ RP^2 \times S^3$$RP^3 \times S^2$.

La forma más fácil de ver que ellos no son homotopy equivalente al mirar su homología (es decir, el ala Kunneth fórmula).

¿Cuál es un ejemplo de dos CW complejos con isomorfo homotopy y grupos de homología, sin embargo, no homotopy equivalente?

Parece un lugar obvio para buscar sería no son isomorfos cohomology (como suena). Si hay un ejemplo, entonces la siguiente pregunta sería para un ejemplo de dos no homotopy equivalente CW complejos con isomorfo homotopy grupos, y isomorfo homología (como graduales grupos) y cohomology (como suena). Qué ejemplos existen? Sospecho que sí, pero yo no conozco a ninguna.

Actualización: hay buenas respuestas a la primera pregunta, con los enlaces. Pero parece que todavía mendigar a la pregunta acerca de cohomology: ¿alguien sabe de un ejemplo de dos no homotopy equivalente CW complejos con isomorfo homotopy grupos de homología de grupos, y cohomology de los anillos?

Answer 1

Siento llegar tarde a la fiesta, pero he aquí un ejemplo de 2 compact simplemente conectado a los colectores que tienen el mismo homotopy grupos, lo mismo homología de grupos, lo mismo cohomology anillo, y, sin embargo, no son homotopy equivalente. Los ejemplos están motivados por Grigory M ejemplos:$S^2\times S^2$$\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P^2}$. Sus ejemplos son tanto $S^2$ paquetes de más de $S^2$.

Si ampliamos este además, resulta que hay exactamente dos $S^3$ paquetes de más de $S^2$. Por supuesto, uno es el producto de $S^3\times S^2$, mientras que el otro no tiene un nombre más común, así que sólo voy a indicar es $S^3\hat{\times} S^2$.

Ambos de estos espacios son diffeomorphic a los cocientes de libre lineal $S^1$ acciones $S^3\times S^3$. Dejando $X$ denotar paquete, tenemos una larga secuencia exacta de homotopy grupos $$...\pi_k(S^1)\rightarrow \pi_k(S^3\times S^3)\rightarrow \pi_k(X)\rightarrow \pi_{k-1}(S^1)\rightarrow ...$$

que puede ser utilizado para demostrar que la $\pi_k(X) \cong \pi_k(S^3\times S^3)$$k\geq 2$$\pi_1(X) = \{e\}$$\pi_2(X) \cong \mathbb{Z}$.

El teorema de Hurewicz junto con Universal coeficientes teorema implica $H^1(X) = 0$$H^2(X) \cong \mathbb{Z}$. La dualidad de poincaré, a continuación, obliga a que el resto de la cohomology anillos a un acuerdo.

Por último, para ver $S^3\times S^2$ $S^3\hat{\times} S^2$ son distintos, uno calcula el Stiefel-Whitney clases de su tangente paquetes. Resulta $w_2(S^3\times S^2) = 0$ mientras $w_2(S^3\hat{\times}S^2)\neq 0$. (Y todos los demás Stiefel-Whitney clases se $0$ para ambos espacios). Desde el Stiefel-Whitney clases puede ser definido en términos de Steenrod poderes, son homotopy invariantes, por lo $S^2\times S^3$ $S^3\hat{\times}S^2$ no homotopy equivalente.

Answer 2

El % de espacios lente $L(p,q_1)$y $L(p,q_2)$ son homotopía equivalentes si y sólo si $q_1q_2 \equiv \pm n^2 \mod p$ $n\in \mathbb{Z}$ (y si homeomórficos y sólo si $q_1 = \pm q_2^{\pm} \mod p$.) Los grupos de homología y cohomología anillo dependen sólo de $p$.

Los grupos de homotopía son isomorfos, ya que cada $L(p,q)$ es el cociente de $S^3$ $\mathbb{Z}/p$ acción. De la parte superior de mi cabeza que no sé cómo $\pi_1$ actúa sobre los grupos mayores.

Answer 3

No estoy seguro acerca de la homotopy grupos, pero el ejemplo estándar es mirar a $S^2\vee S^4$$\mathbb{C}P^2$. Tienen la misma homología de grupos y el mismo cohomology grupos, pero la cohomology anillos son diferentes. Ahora suspender a cada espacio una vez y ahora tienen la misma estructura de anillo, todos los productos son iguales a cero. Sin embargo, son diferentes módulos a través de la álgebra de Steenrod.

De nuevo, no sé si la homotopy grupos son los mismos. De hecho, estable homotopy los grupos deben ser diferentes debido a un Adams Espectral de la Secuencia de cálculo.

Answer 4

$S^2\times S^2$ y $\mathbb CP^2\#\overline{\mathbb CP^2}$ tienen el mismo homotopía y grupos de homología pero no homotopía equivalente ya que tienen anillos de cohomología no-isomorfo (enlace).