$15x^{2} - 7y^{2} = 9$ No tiene soluciones del número entero

Question

Estoy tratando de mostrar la cuadráticas binarias no tiene entero solución. He utilizado el siguiente proceso para transformarla en una ecuación de Pell de la forma $x^{2} - Dy^{2} = M$

Si hay una solución, entonces se $3\mid y$, de modo que podemos escribir $y = 3y_{1}$ y la ecuación se convierte en

$3(5x^{2})-7(3y_{1}^{2}) = 3(3)$ , lo que es justo $5x^{2}-21y_{1}^{2} = 3$

ahora creo que tengo justo el mismo proceso de nuevo, tomando $x = 3x_{1}$ para obtener

$5(3x_{1}^{2})-3(7y_{1}^{2}) = 1$ , lo que es justo $15x_{1}^{2}-7y_{1}^{2} = 1$

Finalmente, multiplicando por 15, teniendo en $X = 15x_{1}$ $Y = y$ tenemos

$X^{2} - 105Y^{2} = 15$

y ahora estoy atrapado como yo no puede encontrar una razón por qué esto no debería haber una solución.

Gracias

Answer 1

Tal vez un poco más fácil y más corto, de trabajo modulo $\,5\,$:

$$9=15x^2-7y^2=-7y^2=3y^2\Longrightarrow y^2=3$$

y es fácil ver que $\,3\,$ es un no-residuo cuadrático modulo $\,5\,$, así que hemos terminado.

Answer 2

Usted no está cuadrando todo el término, que es la razón por la que te quedas atascado. Aquí es una solución. Claramente, desde $7y^2=15x^2-9$ tenemos que $3|7y^2$ lo que implica $3|y^2$ lo que implica $3|y$. Llegamos $y=3y_1$. Podemos reescribir la ecuación como $15x^2-7(3y_1)^2=15x^2-63y^2=9$. Dividiendo por 3 a ambos lados nos da $5x^2-21y^2=3$. Esto significa $5x^2=3+21y^2$. Desde el lado derecho es divisible por 3, LHS también es divisible por 3. Esto nos dice $3|x$. Llegamos $x=3x_1$. Por lo tanto, se deduce que el $45x_1^2=3+21y^2$. lo que implica $15x_1^2-7y_1^2=1$. Una consideración en el modulo 3 revela que, desde el $7y_1^2$ nunca puede ser $2 \;mod\;3$, la ecuación no tiene soluciones en $\mathbb{Z}$.