Resolver la ecuación de $2^x + 5^x = 3^x + 4^x$. Yo puedo entender dos soluciones especiales $x=0$ y $x=1$ y tratar de probar que son las dos únicas soluciones. Sin embargo, creo que es difícil hacerlo porque no puedo demostrar la monotonía dada allí también son exponenciales en el derivado. ¿Cualquier insinuación a?
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Teorema de Lagrange de la $ $$2^x+5^x=3^x+4^x \iff5^x-4^x=3^x-2^x$ aplica funciones (Teorema de valor intermedio): $$f:[4, 5]\to R,\ g:[2, 3]\to R,\ f(u)= u^x,\ g(v)=v^x$ $ $c\in [4, 5]$ de existir y existe $ d\in [2, 3] $ % que $5^x-4^x = xc^{x-1}$y $3^x-2^x=xd^{x-1}$.
La ecuación se escribe como equivalente: %#% $ de #% se deduce que las soluciones de la ecuación son $$xc^{x-1}= xd^{x-1}.$ y $0$
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Poner $f(x)=2^x+5^x-(3^x+4^x)$$g(n)=\frac{d^n}{dx^n} f(0)=(\ln2)^n+(\ln5)^n-(\ln3)^n-(\ln4)^n$ .
Ahora $g(n)$ es positivo para $n>2$ y negativo para $n=1,2$ y luego porque la serie de Taylor de $f$ tienen sólo dos términos negativos , a continuación, $f$ tienen en la mayoría de $2$ raíces .
Solo queda que nos muestran $g(n)$ es positivo para $n>2$ y negativo para $n=1,2$ :
$$(\ln2)^n+(\ln5)^n-(\ln3)^n-(\ln4)^n > (\ln 5)^n-2(\ln4)^n=(\ln5)^n-(\ln4^{2^{1/n}})^n$$
Calculando obtenemos: $4^{2^{1/n}}<5$$n>4$ .
Ahora para $n=1$ es evidente : $ g(1)=\ln2+\ln5-\ln3-\ln4=\ln10-\ln12<0$ $n=2,3,4$ simple cálculo muestra que $g(2)<0<g(3)<g(4)$ .
