Las respuestas exactas no se han cerrado las formas para suficientemente pequeños ángulos, pero el método general es el siguiente
Dicen que sabe la respuesta exacta a $\sin(u)$ y ahora desea calcular el $\sin(\frac{u}{k})$
Para un entero $k$
$$\sin(k\theta)$$
En general mediante el uso de la regla de la derivada de la suma de ángulos fórmula:
http://en.wikipedia.org/wiki/Product-to-sum_identities#Sine.2C_cosine.2C_and_tangent_of_multiple_angles
Uno puede ampliar esto en una gran suma de senos y cosenos
Ahora para cada uno de los cosenos uno puede sustituir
$$\cos(x) = \sqrt{1 - \sin(x)^2}$$
Para obtener una expresión de la forma
$$\sin(k \theta) = SOME \ HAIRY \ ALGEBRAIC \ MESS \ FOR \ SUFFICIENTLY \ LARGE \ K$$
Sin embargo, ahora podemos "resolver" nuestra ecuación anterior para$\sin(\theta)$, lo que nos permite expresó
$$\sin(\theta) = F(\sin(k\theta))$$
Donde F es la, en general, más complejas inversa de la expresión algebraica anterior.
Ahora sustituye $u = k \theta, \rightarrow \theta = \frac{u}{k}$
Y usted se tiene una fórmula para el entero de las divisiones de ángulos
Así que usted puede conseguir realmente fórmulas exactas para CUALQUIER y TODOS los Números Racionales.
Hay un ligero quid de todo esto. Las respuestas no pueden ser expresadas en los radicales cuando se consideran los números racionales cuyos denominadores son múltiplos de un primo mayor que o igual a 5, porque en el fin de expresar los números racionales con el tiempo se ve obligado a resolver un polinomio de grado 5 o superior (en el intento de invertir la $\sin(x)$ expresión) y, en general, esta no es solucionable.
Pero al menos siempre se puede obtener una exacta algebraicas respuesta si usted ampliar su conjunto de herramientas para la inclusión de ultra-radicales
Para ver un ejemplo: considere la posibilidad de
$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$
(Estoy engañando y utilizando un preparado de identidad en lugar de tratar de caminar penosamente a través de la suma de ángulos de identidad, les aseguro que tanto los métodos de trabajo)
ahora algunos algebraicas hocus-pocus
$$\sin(2x) = 2 \sin(x)\sqrt{1 - \sin(x)^2}$$
$$\sin(2x)^2 = 4 \sin(x)^2 (1 - \sin(x)^2)$$
$$4\sin(x)^4 - 4\sin(x)^2 + \sin(2x)^2 = 0$$
Y, a continuación, llevamos a cabo la gran gunz... significado de la Fórmula Cuadrática (me voy a agarrar el positivo tiene por ahora bien, aunque ambas opciones son válidas)
$$\sin(x)^2 = \frac{4 + \sqrt{16 - 16\sin(2x)^2}}{8}$$
$$\sin(x) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{1 - \sin(2x)^2}}{2}}$$
Significado
$$\sin(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{1 - \sin(x)^2}}{2}}$$
Supuesto que podemos obtener incluso más elegante mirando algo a lo largo de las líneas de
$$\sin \left(\frac{x}{4} \right) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{1 - {\frac{1 \pm \sqrt{1 - \sin(x)^2}}{2}}}}{2}} $$
etc... las posibilidades son infinitas. Una vez que usted determine
$$\sin(\frac{x}{prime})$$
los múltiplos de que el primer todos se convierten en accesibles (asumiendo que usted sabe el resto de factores primos)
Dividir por 3 parece:
$$\sin\left( \frac{x}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \sqrt[3]{\sqrt{\sin(x)^2 - 1} - \sin(x)} + \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{\sin(x)^2 - 1} - \sin(x)}} \right) $$
así que la combinación de mi anterior fórmula con esto:
$$ \sin \left( \frac{x}{12} \right) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{1 - {\frac{1 \pm \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2} \left( \sqrt[3]{\sqrt{\sin(x)^2 - 1} - \sin(x)} + \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{\sin(x)^2 - 1} - \sin(x)}} \right) \right)^2}}{2}}}}{2}} $$
