Estoy tratando de resolver la primera parte del Ejercicio II.17.30 en Kunen los Fundamentos de la Matemática que le pregunta:
Demostrar que todos los $A \preccurlyeq H(\aleph_1)$ es transitiva.
Aquí estamos trabajando sobre el lenguaje de $\mathcal{L} = \{\in\}$ de la teoría de conjuntos, y $H(\aleph_1)$ es el conjunto de hereditariamente contable de conjuntos (es decir, aquellos cuya transitiva cierres contables). El símbolo $\preccurlyeq$ indica "es una primaria submodel de".
Vamos a tratar el contrapositivo: supongamos $A$ no es transitiva, por lo que hay conjuntos $u \in A$, $v \in u$ y $v \notin A$. Supongo que quiero encontrar una fórmula $\varphi$, de modo que $A \vDash \varphi(u)$ pero $H(\aleph_1) \nvDash \varphi(u)$. Estoy teniendo problemas para ver cómo puedo detectar que $u$ contiene un elemento $v$ que no está en $A$, desde tan lejos como $A$ le preocupa, $v$ no existe y $u$ se comporta como $u \cap A$.
Si $u$ es un conjunto finito, digamos de tamaño 5, entonces si $\varphi(x)$ es la fórmula "$x$ tiene 5 elementos distintos", tendríamos $H(\aleph_1) \vDash \varphi(u)$ pero $A \vDash \neg \varphi(u)$. Algo similar funciona si $u \cap A$ es finito. Pero si $u \cap A$ es infinito no veo cómo proceder.
Kunen da la pista: "Si $\emptyset \ne x \in A$, entonces no es un $f \in A$ tal que $f :\omega \overset{\text{onto}}{\to} x$." Yo no puede ver lo que ayuda. (Puede ser concebido como una pista para la segunda parte de la pregunta, que pide un contable transitiva $A$ con un singleton subconjunto que no es $\Delta_0$.)
Todas las sugerencias son bienvenidas.
