La secuencia de Mayer-Vietoris

Question

Si $X$ es un espacio con un par de subespacios $A, B \subset X$ tal que $X$ es la unión de los interiores de $A$$B$, luego hay una larga secuencia exacta de los grupos de homología

$\displaystyle \ldots\to H_n(A\cap B) \quad \xrightarrow{\Phi}\quad H_n(A) \oplus H_n(B) \quad \overset{\Psi}{\to} \quad H_n(X) \quad \overset{\partial}{\to} \quad H_{n-1} (A \cap B)\to \ldots$

La acción explícita del mapa de los límites de $\partial : H_n(X)\to H_{n-1}(A \cap B)$ se me escapa. Allen Hatcher, en su libro, escribe

Una clase de $\alpha \in H_n(X)$ es representado por un ciclo de $z$, y por la subdivisión baricéntrica o algún otro método que podemos elegir $z$ a ser una suma de $x+y$ de las cadenas en $A$$B$, respectivamente.

Creo que puedo entender cómo $\partial \alpha$ puede ser identificada con $H_{n-1}(A \cap B)$, pero es que alguien puede hacer claro para mí cómo elegimos esa suma? Si usted puede ir a través de todos los pasos a tomar un elemento en $H_n(X)$ $H_{n-1}(A\cap B)$I será aún más agradecidos.

Answer 1

Deje $\mathcal U=\{\operatorname{int}A, \operatorname{int}B\}$, que es una cubierta de $X$. Según la Proposición 2.21 en Hatcher, la "inclusión" mapa de $\iota:C^{\mathcal U}_\bullet(X)\to C_\bullet(X)$ donde $C^{\mathcal U}_\bullet(X)$ es el subcomplejo de $C_\bullet(X)$ atravesado por la singular simplices cuya imagen está contenida totalmente en uno de los elementos de $\mathcal U$, induce un isomorfismo en la homología.

Si $\alpha$ es una homología de clase, representada por un ciclo de $z\in C_p(X)$, entonces el párrafo anterior implica que hay un $z'\in C^{\mathcal U}_p(X)$ tal que $z$ $\iota(z')$ son homólogos. Ahora $z'$ es una suma de singular simplices que están en $A$ o en $B$ (o ambos): vamos a $z'_1$ ser el subsum de los en $A$, y deje $z'_2$ el subsum de aquellos que no $A$. A continuación, $z'=z'_1+z'_2$ es la descomposición desea.