En la probabilidad de que dos enteros positivos son relativamente privilegiadas

Question

En muchas de las fuentes que he consultado acerca de esto, la "probabilidad" de que dos enteros positivos elegido al azar son relativamente primos se calcula como el límite de $n \to \infty$ de la probabilidad de que dos elegidos al azar de números enteros en el conjunto {1,2, ..., $n$} son relativamente primos (el límite de $1/\zeta(2)$). Mi primera pregunta es: ¿Es este límite de la probabilidad?

También, el nonrigorous/heurística pruebas que he visto de este empezar por mencionar que "la probabilidad de que un primer $p$ divide un entero positivo es $1/p$". Esto hace sentido intuitivo. Me preguntaba: ¿hay una manera de definir una medida de probabilidad sobre los enteros positivos de tal manera que el conjunto de {$n \in \mathbf Z_+$ | $p$ divide $n$} tiene medida $1/p$ (que podemos utilizar para una rigurosa prueba)?

Answer 1

La respuesta es sí, se trata de una medida que, si debilitamos la noción de medir adecuadamente. ("Si debilitamos" es una manera de decir que esto no realmente responder a la pregunta.)

Lo que se da es contable aditividad. Aditividad finita se mantiene, y, muy importante, podemos tener la traducción de la invariancia. (Obviamente no podemos tener ambas contables de la suma y la traducción de la invariancia. Ya que no podemos tener ambas, la traducción de la invariancia puede ser el más atractivo de la propiedad.)

Existe una traducción-invariante finitely aditivo "medida" en los enteros positivos que da la medida de $1$$\mathbb{N}$, y que está definida en todos los subconjuntos de a $\mathbb{N}$. La idea se remonta a Banach. Uno podría buscar en virtud de Banach decir, invariante decir, o susceptibles (en grupo o semigroup). Hay una gran cantidad de literatura.

La traducción de la invariancia de las garantías que de cualquier módulo de $m$, y cualquier entero $a$, el conjunto de los números congruentes a $a$ modulo $m$ ha "la medida" $1/m$.

La construcción de una de Banach que significa que requiere el Axioma de Elección.

Anexo: Uno puede construir fuertes propiedades en una de Banach que decir. Deje $A$ ser cualquier subconjunto de a $\mathbb{N}$, y deje $A_n$ ser el conjunto de todos los $x \in A$ tal que $x \le n$. Si

$$\lim_{n\to\infty} \frac{|A_n|}{n}$$

existe, llame a su límite de $d(A)$. Hay una Banach significa que asigna a "medir" $d(A)$ cualquier $A$ que $d(A)$ existe.

Answer 2

Se puede utilizar el % de probabilidad honesto $P(X=n)=n^{-s}/\zeta(s)$$s>1$. De esta probabilidad honesta uno puede probar:

Es divisible por % 1% eventos $E_{p}=\{X$% #% son independientes.

2 $p\}$ % independiente $P(gcd(X,Y)=n)=n^{-2s}/\zeta(2s)$y $X$. Si $Y$ $s\to 1$ obtenemos la afirmación.

Algunos otros resultados pueden ser obtenidos. Ver Éx. 4.2. en la probabilidad con las martingalas de Williams.

Answer 3

Hay algunas medidas de probabilidad sobre el conjunto de los números enteros, pero muy a menudo no corresponden a nuestra intuición (que no son de la traducción invariante por ejemplo). A medida establece en la teoría de los números, que a menudo dependen de las densidades tales como el natural de la densidad, de la que se está hablando, y la analítica de la densidad, que es en realidad un mejor comportamiento. La buena noticia es que cuando un conjunto tiene ambas densidades, son iguales.