Determinación positiva de métrica de Fubini-estudie

Question

Definir la Fubini-estudie métrico $$g_{i\overline{j}} = \frac{\delta_{i\overline{j}}(1+|\boldsymbol{z}|^2)-\overline{z}^jz^i}{(1+|\boldsymbol{z}|^2)^2} $i,j=1,\ldots,n$ y variables de complejo de $z_i$ y $|\boldsymbol{z}|^2=\sum_{i=1}^n |z^i|^2.$

Mi objetivo es mostrar que, para cada $k=1,\ldots,n,$ % $\det \left( g_{i\overline{j}} \right)_{1 \leq i,\overline{j}\leq k} = \frac{1+\sum_{i=k+1}^n |z^i|^2}{(1+|\boldsymbol{z}|^2)^{k+1}}.$

Answer 1

Vamos a escribir la matriz de numerador como $B_{i\bar{j}}=\delta_{ij}(1+|z|^2)-z_i\bar z_j$, donde $|z|^2=\sum\limits_{i=1}^k|z_i|^2$. Aviso que el primer componente $B^1_{i\bar j}={\delta_{ij}(1+|z|^2)}$ es un escalar multiplicar una matriz de identidad, y el segundo componente $B^2_{i\bar j}=z_i\bar z_j$ es una matriz simétrica de la fila uno y $B^1B^2=B^2B^1$, por lo que existe invertile matriz $P$, que $PBP ^ {-1} = \left (\begin{array}{ccc} 1+|z|^2 \\ & \ddots & \\ & & 1+|z|^2 \end{matriz} \right)-\left (\begin{array}{cccc} |z|^2 & &0 &\\ & \ddots & & \\ 0& &0 \end{matriz} \right)= \left (\begin{array}{ccc} 1 \\ &1+|z|^2 & \\ &\ddots& \\ & & 1+|z|^2 \end{matriz} \right)$ lo $\det(g_{i\bar j})=\frac{1}{(1+|z|^2)^{k+1}}$.