David Corfield le hizo la siguiente pregunta de ayer: Es el n-dimensional de la transformada de Fourier de exp(-||x||) siempre no negativo, donde ||.|| es la norma Euclídea en R^n? ¿Cuál es su apoyo?
Quiero hacerles una pregunta más general: ¿qué sucede cuando ||.|| es el p-norma, para arbitrario p en [1, 2]?
David pregunta, y Josh Shadlen de responder de manera útil, están aquí: Es la transformada de Fourier de exp(-||x||) no negativo?
Si la función se realizó e^(-||x||_{p}^{p}) , el resultado sería seguir a partir de la discusión en el artículo de wikipedia y un producto argumento. Esto es lo que estaba pensando cuando escribí el comentario anterior. Por supuesto, ahora me doy cuenta de que esto no funciona para e^(-||x||_{p}). En general, y del teorema de Bochner, su problema es equivalente a preguntar cuándo e^(-||x||_{p}) es positiva definida la función. Este es un caso especial de un problema más general de Schoenberg en el que se solicita que los valores de p y b es la función e^(-||x||_{p}^{b}) ser positiva definida. Creo que este problema está resuelto. Ver: http://arxiv.org/abs/math/9210207.
Bueno, creo que tengo una respuesta ahora. Estoy de endeudamiento de los argumentos de la prueba del Lema 2.27 en el libro "Análisis de Fourier en el Convexo de la Geometría", por A. Koldobsky (al parecer no disponible en línea). Que el lema de los estados que la transformada de Fourier de la función (R) exp(-|x|^p) es positiva en todas partes para p en (0,2].
La herramienta central es un teorema de Berstein, que en particular implica que si s es en (0,1], entonces exp(-z^s) es la transformada de Laplace de algunas finito medida positiva \mu en [0,\infty); es decir, exp(-z^s) = \int exp(-uz) d\mu(u). La aplicación de esta con s=1/p y z=||x||_p^p rendimientos exp(-||x||_p) = \int exp(-u ||x||_p^p) d\mu(u).
Ahora se calcula la transformada de Fourier en R^n de este. El uso de Fubini obtener una integral wrt \mu de un producto de las transformadas de Fourier de exp(-|x|^p), y ahora puede aplicar el unidimensional lema. (La uno-dimensional lema queda demostrado por el uso de la misma teorema de Berstein a reducir, para el caso p=2.)
No tengo una respuesta real para ti, pero te voy a dar algunos posiblemente útil moda para tratar de google en su camino a una respuesta: estable vectores aleatorios. Como yo lo entiendo (al menos en el caso p=2), la existencia de 1-estable al azar vectores es esencialmente el positivo de la definición del exp(-||x||). Así que quiero saber si 1-estable al azar de vectores en R^n tiene un estricto densidad positiva. Probablemente hay probabilists que saben de esto, pero yo no soy uno de ellos y no tienen el tiempo para cazar abajo a la derecha ahora.
La transformada de Fourier de la función e^(-||x||_{p}) es no negativo para la p\in [1,2], y toma valores negativos para $p>2$. Para la p \in [1,2] la función es la función característica de un Lévy distribución estable (lo cual implica que su transformada de Fourier es no negativo). Para obtener más información, consulte: http://en.wikipedia.org/wiki/Stable_distribution. Tenga en cuenta que, en general, la función e^(-||x||_{p}) es p-radial.
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