Si $n$ es un número entero positivo mayor que 1 tal que $3n+1$ es cuadrado perfecto, a continuación, mostrar que $n+1$ es la suma de tres cuadrados perfectos.

Question

Si $n$ es un número entero positivo mayor que 1 tal que $3n+1$ es cuadrado perfecto, a continuación, mostrar que $n+1$ es la suma de tres cuadrados perfectos.

Mi trabajo:
$3n+1=x^2$
$3n+3=x^2+2$
$3(n+1)=x^2+2$
$(n+1)=\dfrac{x^2+2}{3}$

No tengo ni idea de qué hacer a continuación. Por favor, ayuda!

Answer 1

Estamos dado que el $3n+1 = a^2 $.

Queremos mostrar que $n+1$ es la suma de los 3 cuadrados perfectos.

Tenga en cuenta que $a$ no es un múltiplo de 3.

Si $ a \equiv 1 \pmod{3}$, luego de observar que los $9n+9 = 3a^2 + 6 = (a-1)^2 + (a-1)^2 + (a+2)^2$, y por lo tanto

$$ n+1 = \left( \frac{a-1}{3} \right)^2 + \left( \frac{a-1}{3} \right)^2 + \left( \frac{a+2}{3} \right)^2. $$

Si $ a \equiv 2 \pmod{3}$, luego de observar que los $9n+9 = 3a^2 + 6 = (a+1)^2 + (a+1)^2 + (a-2)^2$, y por lo tanto

$$ n+1 = \left( \frac{a+1}{3} \right)^2 + \left( \frac{a+1}{3} \right)^2 + \left( \frac{a-2}{3} \right)^2 $$

Así, el resultado es true.

La motivación detrás de la solución es: queremos demostrar que las $n+1$ es la suma de 3 plazas, y la única cosa que tenemos que trabajar con el es $a^2$, y, posiblemente, las cosas a su alrededor. Desde $3a^2$ (el ingenuo suma de 3 plazas) está tan cerca de $9n+9$, esto sugiere que tenemos cierto margen de maniobra. Recordar que tenemos que tener en cuenta para el factor 3, a continuación, limita en gran medida nuestras opciones.

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Como una extensión, muestran que $n+3$ también puede ser escrito como la suma de los 3 cuadrados perfectos, con un enfoque similar.

Answer 2

Si $\displaystyle 3n+1=a^2, (a,3)=1\implies a$ puede ser escrito como $\displaystyle3b\pm1$ donde $b$ es un número entero

Así que tenemos $\displaystyle 3n+1=(3b\pm1)^2\implies n=3b^2\pm2b$

$\displaystyle n+1=3b^2\pm2b+1=b^2+b^2+b^2\pm2b+1=b^2+b^2+(b\pm1)^2$

Answer 3

Esto le dará la respuesta : http://www.proofwiki.org/wiki/Integer_as_Sum_of_Three_Squares

Usted necesita demostrar que $n+1=\frac{x^2+2}{3}$ no es de la forma$4^k(8m+7)$$k,m\in \mathbb{N}$, y no es difícil demostrar esto.

Para la Plaza modulo 8 sabemos que $x^2 =0,1,4 \mod{8}$, lo $x^2 +2 =2,3,6 \mod{8}$. Desde $x^2 +2 =0 \mod{3}$ obtenemos que $\frac{x^2 +2}{3} = 1,2,A \mod{8}$ donde $A=\frac{2+8a}{3}$, $a$ entero positivo. Y $A=\psi \mod{8}$ es decir, $2=3\psi \mod{8}$$\psi\in\{0,1,...,7\}$. El único valor posible es $\psi=6$ por lo tanto $\frac{x^2 +2}{3} = 1,2,6 \mod{8}$.

Si fue de esa forma en particular, a continuación:

Para $m=0$,$k=0$ es igual a 7 modulo 8

Para $m=0$,$k=1$ es igual a 4 modulo 8

Para $m=0$,$k=2$ es igual a 0 modulo 8

Para $m>0,k>2$ es igual a 0 modulo 8 Para obtener una contradicción.