El número de subgrupos no normales de un grupo no puede ser $1$ ?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo. Sea $n$ sea el número de subgrupos de $G$ que no son normales. Demostrar que $n\not=1$ .

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Cuando $G$ es abeliana, entonces esto es trivial ya que $n=0$ . Para el grupo no beliano $G$ Tengo que demostrar que $n\geq 2$ . Pero no veo cómo seguir. ¿Alguna pista?

Answer 1

Un subgrupo $N$ de $G$ se llama normal si $g^{-1} N g = N$ para todos $g \in G$ . Así que supongamos $N$ no es normal. Lo que es $g^{-1} N g$ si $g^{-1} N g \ne N$ ?

Answer 2

Tal vez quiera ver esto papel . Aquí todos los grupos $G$ se clasifican que tienen sólo finitamente muchos subgrupos no normales. Se demuestra que un grupo $G$ tiene esta propiedad si y sólo si es abeliano o Hamiltoniano o finito o del formulario $A \times B$ , donde $A$ y $B$ son los siguientes: $B$ contiene para algún número primo $p$ un subgrupo central $C$ que es isomorfo al grupo de raíces complejas de la unidad de $p$ -de poder, tal que $B/C$ es un abeliano finito $p$ -grupo, y $A$ es un grupo abeliano o hamiltoniano finito de orden no divisible por $p$ .

De este resultado se deduce este resultado que cualquier grupo infinito que tenga subgrupos no normales tiene al menos seis de ellos, con igualdad precisamente para un grupo, hasta el isomorfismo.