¿Cómo es posible probar un número es irracional?
Primera parte de esta pregunta: ¿Cómo es posible saber que un número continuará infinitamente?
Segunda parte: ¿Cómo es posible saber que ninguna repetición se producirá durante la secuencia infinita de dígitos?
¿Ejemplos de pruebas de irracionalidad?
Hay muchas pruebas de la irracionalidad, y algunos de ellos son muy diferentes el uno del otro. La más sencilla que conozco es una prueba de que $\log_2 3$ es irracional. Aquí está: recuerde que para decir que un número es racional, es decir, que no es $a/b$, donde $a$ y $b$ son números enteros (por ejemplo, $5/7$, etc.). Así que supongamos que $\log_2 3 = a/b$. Dado que este es un número positivo, podemos tomar $a$ y $b$ a ser positivo. Entonces $$ 2^{a/b} = 3. $$ $$ 2^a = 3^b. $$ Pero que dice que un número es igual a un número impar. Que es imposible. Por lo tanto $\log_2 3$ no puede ser racional.
El más conocido y más antiguo de la prueba de la irracionalidad es una prueba de que $\sqrt{2}$ es irracional. Veo que ya está publicado aquí. He aquí otra prueba de que el mismo resultado:
Supongamos que es racional, es decir, $\sqrt{2} = n/m$. Podemos tomar $n$ y $m$ positiva y la fracción ser en términos mínimos. A continuación, un poco de álgebra muestra que $(2m-n)/(n-m)$ es también igual a $\sqrt{2}$, pero es incluso inferior términos. Eso es una contradicción. Por lo tanto es imposible que $\sqrt{2}$ para ser racional.
Tampoco es muy difícil demostrar que $e$, la base de los logaritmos naturales, es irracional.
Para demostrar que $\pi$ es irracional es mucho más difícil---de hecho, tan duro que no se hizo hasta el siglo 18.
Otra prueba de la irracionalidad comienza demostrando que al dividir un número entero por otro número entero, si el decimal de expansión no se termina, entonces se debe repetir. He publicado una explicación de que aquí. Una vez que hayas hecho esto, usted puede construir una que no se repiten decimal. Por ejemplo: $$ 0.10110111011110111110\ldots $$ (1, 0, luego dos 1s, luego un 0, luego tres 1s, luego un 0, luego cuatro 1s, luego un 0, y así sucesivamente).
Demostrar que un número es irracional puede o puede no ser fácil. Por ejemplo, nadie sabe si $\pi+e$ es racional.
Por otro lado, hay propiedades que saber los números racionales tienen y sólo los números racionales tienen, propiedades y sabemos que los números irracionales tienen y sólo los números irracionales tienen. Si podemos mostrar un número determinado de tener uno de los antiguos, podemos garantizar que es racional; si podemos mostrar que tiene este último, podemos garantizar que es irracional. También existen propiedades que los números racionales, entre otros, han; si podemos probar que un determinado valor de $x$ ¿ no tiene tal propiedad, entonces no puede ser racional. O hay propiedades que sólo algunos de los números racionales tienen (como decimal finito de expansión). Si el número no tiene tal propiedad, entonces debe ser racional. Etc.
Y, a veces, es posible que simplemente demostrar que "de forma directa".
Primero: recuerda que la definición de "número racional" es no acerca de su expansión decimal, sino más bien:
Un número real $r$ es racional si existen enteros de $a$ y $b$, $b\neq 0$ tal que $ \displaystyle r= \frac{a}{b}$.
Es una consecuencia de esta definición que, si escribes una expansión decimal de un número racional, entonces será periódica (eventualmente se va a repetir, tal vez con $0$s).
Así que no se trata de números "hasta el infinito". O acerca de las expansiones decimales. Se trata de ser capaz de expresar el número como un cociente de dos números enteros (de ahí el "racional": una relación).
(Como una cuestión de hecho, "la mayoría de los" números no tienen la terminación decimal expansiones; no sólo todas irrationals han nonterminating decimal de expansión, pero un número racional $\frac{a}{b}$, con $a$ y $b$ relativamente primos, ha decimal finito de expansión) si y sólo si no hay primer distinto $2$ o $5$ divide a $b$).
Por ejemplo, los antiguos griegos demuestra que $\sqrt{2}$ no era racional por la contradicción:
Suponga que $\sqrt{2}$ es racional, y escribir $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ con $a$ y $b$ son números enteros. Por la cancelación, podemos suponer que $a$ y $b$ son no tanto, incluso (si las hay, podemos simplemente seguir con la cancelación de los poderes de $2$ hasta que uno de ellos no lo es). El cuadrado obtenemos que $2 = \frac{a^2}{b^2}$. Entonces $2b^2=a^2$. Desde el lado izquierdo es incluso, $a^2$ es incluso; pero para una plaza para ser, incluso, debemos tener $$ incluso. Por lo que $a=2k$ $k$. Que significa que $2b^2 = a^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Desde $2b^2 = 4k^2$ concluimos que $b^2 = 2k^2$, entonces $b$ debe ser par. Pero esto contradice nuestra suposición de que $a$ y $b$ no fueron aún. La contradicción surge de suponiendo que $\sqrt{2}$ es racional, por lo tanto $\sqrt{2}$ es irracional.
No nos hizo falta para encontrar la expansión decimal de $\sqrt{2}$, o demostrar que nunca se repite, sino que simplemente se demostró que es imposible que $\sqrt{2}$ a se puede expresar como un cociente de dos enteros.
Del mismo modo, uno puede mostrar que para cada entero positivo de $n$ y cada entero positivo $m$, $\sqrt[m]{n}$ es un número entero, o es irracional (la prueba utiliza único de la factorización de enteros en números primos o algo similar).
He aquí otro ejemplo de algo que se sabe acerca racionales y irrationals: es un corolario de un teorema de Hurwitz de 1891:
Si $x$ es irracional, entonces hay infinitamente muchos enteros $p$ y $q$, $q\neq 0$, con $p$ y $q$ compartir sin factores comunes distintos de $1$ y $-1$, tal que $$\left| x- \frac{p}{q}\right| \lt \frac{1}{\sqrt{5}p^2}.$$
Si usted puede demostrar que para un determinado valor de $x$, la desigualdad tiene sólo un número finito de soluciones, entonces la conclusión es que $x$ debe ser racional.
Asimismo, hay teoremas que nos dicen acerca de los números algebraicos (raíces de polinomios con coeficientes enteros). Cada número racional es algebraico (desde $\frac{a}{b}$ es la raíz de $bx-a$); si usted puede probar que un número no algebraicas, entonces debe ser irracional. Por ejemplo, uno puede demostrar que $e$ y que $\pi$ son trascendentales, sino de mostrar que ellos no pueden ser raíces de cualquier polinomio con coeficientes enteros; en particular, que no puede ser racional.
Así, la mayoría del tiempo no estamos buscando en la "expansión decimal" para decidir si el número es racional o no (aunque a veces lo hacemos, para algunos números especiales como el de Austin Mohr menciones). En su lugar, nos fijamos en las propiedades de el número de cuenta para ver si tiene las propiedades de un número racional o un número irracional.
Doy el ejemplo siguiente.
La proposición. Si existen dos secuencias de enteros de $a_{n}$ y $b_{n}$ tal que $$0<|b_{n}\alpha -a_{n}|\rightarrow 0,$$ entonces $\alpha $ es un número irracional.
Prueba. Se asume que $\alpha =p/q\in\mathbb{Q}$. Para $n$ lo suficientemente grandes como el entero de la secuencia de $\left\vert pb_{n}-qa_{n}\right\vert <1$ y $pb_{n}-qa_{n}\neq 0$, lo cual es imposible.
En su prueba de la irracionalidad de $\zeta (3)$ Roger Apéry introdujo el siguientes secuencias (ver este artículo de van der Poorten y este uno, en francés, Stéphane Fischler):
$$v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2}$$ y $$u_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2}\left( \sum_{n=1}^{n} \frac{1}{m^{3}}+\sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^{3}\binom{n}{m}\binom{n+m }{m}}\right) .$$
Las secuencias de $a_{n}=2d_{n}^{3}u_{n}$ y $b_{n}=2d_{n}^{3}v_{n}$, donde $d_{n}=\text{lcm}(1,2,\ldots ,n)$ son secuencias de enteros cuya relación converge a $\zeta (3)$
$$\zeta (3)=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2d_{n}^{3}u_{n}}{2d_{n}^{3}v_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n}}{v_{n}},$$
y
$$0< b_{n}\zeta (3)-a_{n}=O\left(\beta^n\right) ,$$ con $\beta=\left( 1-\sqrt{2}\right) ^{4}e^{3}<1.$
Vea los ejemplos 1 y 2 para las pruebas de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ y $e$ en esta entrada de lo más Complicado
Para demostrar que un número es irracional, demuestran que es casi racional
A grandes rasgos, si usted puede aproximado de $\alpha$ bien por racionales, entonces $\alpha$ es irracional. Esto resulta ser muy útil a partir punto para las pruebas de la irracionalidad.
Es muy fácil construir un infinito conjunto de irrationals que, además, son $\rm\mathbb Q$-lineal independiente, es decir,$\, \rm \{\log_2 p_{\,i}\}$ $\rm\{p_{i}\} = $ todos los impares primos. Si $\rm\ c_1\log_2p_1+\cdots+\ c_{n}\log_2p_{n} =\, c_o,\, $ $\rm\, c_{i}\in \mathbb Q,$ entonces, escalando por un común denominador de todos los $\rm\,c_{i},\,$ podemos asumir que la totalidad de los $\,\rm c_{i}\in\mathbb Z.\ $ Exponentiating $\,\rm x\2^{x} $ produce $\rm\ p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n} = 2^{c_o},\,$ por lo tanto, todo $\rm\,c_{i} = 0\,$ por la singularidad de primer factorizations (todos los números primos son diferentes). El caso especial de $\rm\,n=1\,\Rightarrow\,\log_2p_{i}\no\in\mathbb P.\ \ $ QED
Nota $\ $ Véase también el ejemplo similar en mi post aquí.
Una elegante prueba de que $\sqrt[n]{2}$ es irracional para los números enteros $n \ge 2$.
Hay muchas soluciones cuando $n = 2$. Un ejemplo es esta (de la wiki)
Cuando $n > 2$, podemos utilizar el Último Teorema de Fermat (!)
Supongamos que $\sqrt[n]{2}$ es racional. Entonces, $\sqrt[n]{2} = \frac{a}{b}$ para algunos enteros positivos primos relativos $a, b$. Entonces, $a^n = 2b^n \Rightarrow a^n = b^n + b^n$, contradiciendo Último Teorema de Fermat!
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