¿Cómo puedo calcular este límite?

Question

Tengo que calcular

$$ \lim_{n\to\infty} \exp(-n)\left(1+n+\frac{n^2}{2}+\ldots+\frac{n^n}{n!} \right)$$

Creo que el valor es 1, pero no sé cómo prueba de esto. Tengo para estimar el resto de la expansión de Taylor de la función exponencial? ¿Alguien tiene un consejo para mí?

Así que, ¿tengo que mostrar que $$ R_{n} (x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{\exp(t)}{n!} \left(x-t\right)^{n}\mathrm{d}t $$ tiende a 0? O es que hay una manera más fácil?

Answer 1

Si usted expresar esto en términos de la serie residual $$ f(n)= \exp(-n)\cdot (\exp(n) - (n^{n+1}/(n+1)! + n^{n+2}/(n+2)! + ... ) $$ usted puede escribir $$ f(n) = 1 - {(n^{n+1}/(n+1)! + n^{n+2}/(n+2)! + ... ) \over \exp(n)} $$ y esto puede furtherly ser reducido a $$ f(n) = 1 - {n^n\over n!} \cdot {(n/(n+1) + n^2/(n+1)/(n+2) + ... ) \over \exp(n)} $$ y, a continuación, a $$ f(n) = 1 - {(n/e)^n\over n!} \cdot \left( {1 \over 1+1/n} + {1 \over (1+1/n)(1+2/n)} + ... \right) $$ Llame a la infinidad de suma en la parenthese como $R(n)$, entonces parece como si una no mala estimación exacta es $ R(n) \approx 1.174 n^{0.506}$ (tomado por algunos valores por línea de tendencia no lineal con Excel, por lo que los valores podrían ser mejorables). Entonces - creo - el Stirling-fórmula para el cálculo del factorial debe entrar en juego...

Como ya se conjeturó en los comentarios, parece que el resultado final va a 1/2 por simple tests numéricos utilizando la serie de representaciones de $R(n)$.