¿Cuál es la diferencia entre una proposición y un teorema? ¿Cómo decide la gente cuál de los dos usar, por ejemplo, en los libros de texto?
De alguna manera, creo que "proposición" suena menos serio.
Añadiría que dentro de una obra, los teoremas tienden a ser un poco más profundos que las proposiciones.
Supongamos que tenemos un sistema formal con un lenguaje $\mathcal{L}$ y un conjunto de axiomas tal que el conjunto $T$ de oraciones (es decir, fórmulas bien formadas sin variables libres) $\varphi \in \mathcal{L}$ contiene esos axiomas y está cerrado bajo consecuencia lógica. Por lo tanto, $T$ es conocido como una teoría, y cada oración de $T$ es un teorema de $T.
Por lo tanto, la distinción entre 'teorema', 'proposición' y 'lema' es en gran medida sociológica o expositiva: proporciona un medio para que un matemático indique qué es nuevo o importante y qué resultados son simplemente pasos hacia resultados más grandes. La distinción entre ellos es imprecisa: lo que es un teorema en un contexto puede ser simplemente un lema en otro.
Por ejemplo, el Lema de Zorn a menudo se discute o demuestra sin usarlo como un paso en alguna otra prueba. Un primer curso de teoría de conjuntos a menudo incluirá las pruebas de que el Lema de Zorn es deducible del Axioma de Elección, y viceversa. Esto es una buena ilustración del punto anterior, ya que en una dirección derivamos algo nominalmente conocido como un lema—no un teorema— y en la otra derivamos algo generalmente conocido como un axioma de un lema que no demostramos, sino que simplemente asumimos. Nótese que es una consecuencia trivial de la definición anterior que los axiomas también son teoremas.
La pregunta de cuándo usar uno u otro se reduce a dos factores principales: cómo su uso se refleja en la presentación de un resultado o serie de resultados, y precedente: cómo se han utilizado en el pasado. Nótese que las consideraciones pedagógicas probablemente llevan más peso: un libro de lógica matemática podría presentar el Teorema de Compacidad como un teorema, pero el Teorema de Completitud como simplemente un corolario.
La mejor manera de entender esto en la práctica es leer muchos libros de texto y tomar nota de cómo las mejores presentaciones de los resultados eligen hacer estas distinciones. Con el tiempo, será obvio en tu propio trabajo qué debe ser un lema, qué debería ser un teorema, y así sucesivamente. Las particularidades dadas a estos términos por diferentes autores no son estándar, y pueden variar tanto con el campo de investigación como con el autor individual.
Puede ser útil pensar en las demostraciones en términos narrativos: los resultados individuales deben etiquetarse de la mejor manera que estructura la historia, para que tus lectores tengan la mejor oportunidad posible de entender tu resultado en su contexto adecuado. Por supuesto, este consejo se aplica mucho más generalmente, y al igual que con otros aspectos de la exposición, la práctica tanto en la lectura como en la escritura de demostraciones es clave.
En mi humilde opinión, esta debería ser la respuesta aceptada (y también debería haber ALGUNA respuesta aceptada...). La respuesta más votada (por lhf) es útil como el resumen de un artículo académico y su valor no debe ser descartado. Lo que pienso cuando pienso en stackExchange/ stackOverflow es más la parte de "profundización" de un artículo, que es lo que esta respuesta hace. ¡Bien hecho, Benedict Eastaugh!
De hecho, según el muy buen libro Matemáticas para Ciencias de la Computación (por Eric Lehman y F Thomson Leighton), las proposiciones y los teoremas no son lo mismo (ver página 7 y página 8).
Proposición es una afirmación (piensa en ella como una expresión afirmada/dicha verbalmente), la cual (punto importante ->) puede ser o (1)Verdadera o (2)Falsa.
Teorema es una Proposición que ha pasado por el proceso de verificación matemática y se ha demostrado que es Verdadera.
Nota que la verificación puede lograrse de diferentes maneras/estrategias. Por ejemplo, inducción, predicados, etc.
Ciertamente hay un uso de la proposición que concuerda con esta respuesta, y tiene sentido en ciertos contextos, pero en muchos libros y documentos, las proposiciones actúan como lemas y tienen pruebas que siguen a su enunciado, al igual que los teoremas.
Por definición, una proposición es "Una declaración o afirmación que expresa un juicio u opinión.", un teorema es "Una proposición general no evidente por sí misma pero probada por una cadena de razonamientos; una verdad establecida mediante verdades aceptadas."
Entonces, como veo, la diferencia principal es que una proposición es más evidente. Se utiliza como algo de apoyo. Un teorema, por el contrario, tiene un lugar más importante en la teoría correspondiente, es algo más fundamental.
No hay ningún requerimiento de que algo etiquetado como proposición sea más evidente que algo etiquetado como teorema; este último simplemente se considera más sustancial y probablemente más importante, al menos en el contexto dado.
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