Cómo convencer a un estudiante de secundaria que los diferenciales no funcionan como fracciones en general?

Question

Todo comenzó cuando me trató de convencer de 10mo grado que si $f$ es una función definida en el $\mathbb{R}^n$ el diferencial se define por:

$\large \displaystyle df = \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}dx_1 + \frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}dx_2 + \cdots \frac{\partial{f}}{\partial{x_n}}dx_n$

y si $x_i = g_i(t)$, entonces:

$\large\displaystyle \frac{df}{dt} = \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\frac{dx_1}{dt} + \frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\frac{dx_2}{dt} + \cdots \frac{\partial{f}}{\partial{x_n}}\frac{dx_n}{dt}$

Como él es un 10º grado, se supone que debe pensar de $df$ como un pequeño cambio en el valor de $f$ causado por un pequeño cambio en $(x_1,...,x_n)$.

He definido $df$ para una función derivable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ en el siguiente ingenuo pero de manera intuitiva y que felizmente ha aceptado esta definición:

$\large \displaystyle df = \lim_{\Delta{x} \to 0} \Delta{y}$ donde $\large \Delta{y} = f'(x)\Delta{x} + \epsilon(\Delta{x})\Delta{x}$ $\large \epsilon(\Delta{x})$ es una función de $\large \Delta{x}$ que compensa el error de inflexión $\large f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta{x} \to 0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$ en una igualdad y, por definición, tenemos $\large \displaystyle \lim_{\Delta{x} \to 0}\epsilon(\Delta{x}) = 0$

Utilizando esa definición, me convenció por qué la diferencial de una función multivariable es generalizar a dimensiones superiores de esa manera. Pero he logrado convencerlo de por qué no es una buena idea cancelar $\partial{x_i}$ en el denominador con $dx_i$ así como estamos tratando con fracciones. También tengo miedo de probar la regla de la cadena para él dividiendo $\Delta{t}$ y, a continuación, dejando $\Delta{t} \to 0$. Estoy buscando una explicación fácil, adecuado para un estudiante de secundaria, que le convence de por qué los diferenciales no debe ser mirado como fracciones contrariamente a lo que creen muchos estudiantes en la escuela secundaria.

Answer 1

Un ejemplo común es la ecuación de $PV = T$. Tenga en cuenta que

$$P = \frac{T}{V} \implies \frac{\partial P}{\partial V} = -\frac{T}{V^2}$$ $$V = \frac{1}{P}T \implies \frac{\partial V}{\partial T} = \frac{1}{P}$$ $$T = PV \implies \frac{\partial T}{\partial P} = V$$ así $$\frac{\partial P}{\partial V} \frac{\partial V}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial P} = -\frac{T}{V^2}\frac{1}{P}V = -\frac{T}{PV} = -1.$$

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Edit: también Existe la regla de la cadena. Si $f$ es una función de dos variables, decir $f(u,v)$, donde ambos se $u$ $v$ de las mismas son funciones de dos variables (decir $u=u(x,y)$$v=v(x,y)$), entonces la regla de la cadena es

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Si tan solo pudiéramos cancelar la $\partial u$'s y $\partial v$'s, que nos iba a llegar el absurdo $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial x}$.

Ciertamente, esta no es la explicación conceptual, pero me imagino que va a convencer a bastantes de la escuela secundaria (y la universidad) de los estudiantes.

Answer 2

Creo que se puede utilizar la siguiente estrategia:

Su diferencial

$df = f_1 dx_1 + \ldots f_n dx_n$

Muestra cómo $f$ cambios pequeños cambios en las coordenadas. Sin embargo, estas coordenadas se puede cambiar de forma independiente el uno del otro, por lo que es importante a la razón acerca de lo que cada uno está cambiando...

En la fórmula

$df/dt = f_1 dx_1/dt + \ldots + f_n dx_n/dt$,

Ten en cuenta que estás preguntando cómo $f(x(t))$ cambios con $t$. Sin embargo, para $x=g(t)$, cada dirección está cambiando a velocidades diferentes descrito por $dx_i/dt$. Entonces, ¿qué sería la cancelación de todos modos?

Como un ejemplo, puede utilizar diferentes ejemplos de $g$ a ilustrar este punto. El uso de $g$ que sólo los cambios en el $x_i$ dirección. Cuando eso sucede, todos los demás plazo, sino $f_i dx_i/dt$ desaparece.

El punto es que, al generalizar a dimensiones superiores, usted tiene que considerar cada variable independiente por separado para el diferencial. De hecho, él podría haber preguntado desde el principio ¿por qué no $df = n \partial f$, lo que significa? Espero que esto ayude punto en una dirección correcta.

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Edit: Añadir junto a este tema, puede resultar ilustrativo para mostrar cómo derivadas direccionales de trabajo, porque ilustra una vez más el mismo punto.

Answer 3

Parece que tienes dos problemas:

• Su estudiante está siendo engañada por los tradicionales pero horrible la notación.
• Quieres un buen conceptual explicación de la regla de la cadena, en lugar de un desagradable técnico.

Yo creo que ambos problemas pueden ser resueltos mediante la adopción de un enfoque más moderno.

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Me gusta la ruta de Evans y John M sugerido, la introducción de los diferenciales a través de derivadas direccionales. Yo suelo definir a $df(v)$ como la tasa a la que $f$ cambios cuando se mueve a través del dominio con velocidad de $v$. Me parece que los estudiantes están generalmente dispuestos a aceptar esta definición intuitiva, sin más detalles. Es bastante obvio que a $df(\alpha v)$ siempre debe ser igual a $\alpha df(v)$. Por otra parte, si $f$ es "lo suficientemente bueno", a continuación,$df(v + w) = df(v) + df(w)$. Observe que, en el Fréchet enfoque, este aditividad de la propiedad no está probado desde otros hechos-es parte de la definición de "lo suficientemente bueno"!

Si tenemos una base $e_1, \ldots, e_n$ para el dominio de $f$, es a menudo útil para calcular los $df(v)$ en las coordenadas $$df(v) = df(v_1 e_1 + \ldots + v_n e_n)$$ $$= v_1 df(e_1) + \ldots + v_n df(e_n).$$ Esta es la primera expresión en su pregunta, reescrito en más coherente de notación en particular, no hay nada que se parece a una fracción.

Ahora, supongamos que queremos encontrar la tasa de cambio de $f$ a medida que nos movemos a lo largo de un camino de $\gamma(t)$. Si nuestra "velocidad a través del tiempo"-la velocidad a la que el reloj está funcionando-es $\epsilon$, entonces nuestra velocidad a través del espacio es $d\gamma(\epsilon)$, por lo que la tasa de cambio de $f$ es $$df(d\gamma(\epsilon)).$$ La expansión de $\gamma$ en coordenadas como $\gamma_1 e_1 + \ldots + \gamma_n e_n$, obtenemos $$df(d\gamma(\epsilon)) = df(d\gamma_1(\epsilon) e_1 + \ldots + d\gamma_n(\epsilon) e_n)$$ $$= df(e_1) d\gamma_1(\epsilon) + \ldots + df(e_n) d\gamma_n(\epsilon),$$ su segunda ecuación-de nuevo sin nada de lo que se ve como una fracción.

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Si la base $e_1, \ldots, e_n$ proviene de un sistema de coordenadas $x_1, \ldots, x_n$, es un buen ejercicio para saber que $dx_\mu(v_1 e_1 + \ldots + v_n e_n) = v_\mu$, por lo que $$df(v) = v_1 df(e_1) + \ldots + v_n df(e_n)$$ $$= df(e_1) dx_1(v) + \ldots + df(e_n) dx_n(v).$$ A continuación, podemos escribir $$df = df(e_1) dx_1 + \ldots + df(e_n) dx_n,$$ con el entendimiento de que el argumento se supone distribuir a través de todos los términos en el lado derecho.

Si quieres convertir tu lección en un época Victoriana drama de época, puede introducir la taquigrafía $\tfrac{\partial f}{\partial x_\mu} = df(e_\mu)$, produciendo la conocida expresión coordinada por $df$. Me gustaría destacar que, al igual que el gigante de las patillas y muy atada a los corsés, esta fracción como notación no es necesariamente significativa, o particularmente bueno para usted.

Answer 4

En tu ejemplo, me gusta pensar en el diferencial de $df$ (evaluado en un punto) como lineal mapa de$\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}$, que a su vez se puede considerar como un vector de fila, el vector fila de ser $$\left[\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right] = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n.$$ A continuación, el $dx_i$ son sólo la base de los elementos, por ejemplo, $$dx_1 = [1, 0, \dots, 0].$$ Este enfoque, a continuación, más fácilmente se generaliza a las funciones de $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$.