Llamar a un polígono con coordenadas enteras (en el plano Euclidiano) un "entramado polígono'. Recogida del Teorema permite calcular de manera eficiente el número de celosía puntos del interior de este polígono dado, sólo en su conjunto de vértices.
Hay un método similar de manera eficiente calcular la suma
$$\sum_{(x,y)\in \mathcal{P}} x$$
donde $\mathcal{P}$ es algunos de celosía polígono? En otras palabras, existen métodos para calcular el "centro de masa" del conjunto de celosía de puntos pertenecientes a la interior o límite de un determinado entramado polígono?
(Efectivamente, me refiero a algo en el orden del número de vértices del polígono. También, mediante la triangulación es claro que basta para responder a esta pregunta para la red de triángulos)
EDIT: En caso de que no estaba claro, yo soy no tratando de encontrar el centro real de la masa del triángulo - quiero encontrar el centro de masa del conjunto de celosía puntos en el interior del triángulo (de ahí el por encima de la suma).
EDIT 2: Después de trabajar en este problema un poco más, creo que he llegado a un método bastante sencillo que parece que funciona y evita la complicada maquinaria de 3D-Ehrhart polinomios.
La idea es (como en la Recogida del teorema), ya que se puede inscribir en cualquier triángulo dentro de un rectángulo, es suficiente para calcular la suma de los rectángulos y triángulos rectángulos. Calculando la suma de los rectángulos es fácil; es simplemente algo como $(y_2-y_1)(x_1+(x_1+1)+...+x_2)$.
Debido a la simetría, es casi tan simple para los triángulos rectángulos. Es decir, la suma de las coordenadas x/en el límite de cualquier triángulo rectángulo es igual a ((suma de las coordenadas x en el rectángulo correspondiente) + (suma de las coordenadas x a lo largo de la diagonal))/2.
Esperemos que esto ayuda a alguien que más tarde tiene el mismo problema.
