Cómo probar tan elemental desigualdad

Question

La desigualdad es la siguiente:

$a^ \theta b^ {1-\theta}$ $\leq$ $[\theta ^ \theta (1-\theta)^ {1-\theta}]^{1/p}(a^p+b^p)^{1/p}$, donde $\theta \in [0,1]$, $a,b$ son no negativos.

Esta desigualdad se utiliza para dar más constante en la prueba de una incrustación teorema en espacios de Sobolev. Aquí está el enlace https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/pde/ch3.pdf. En la página 66, el autor utiliza la desigualdad de dar más de lo estimado, pero él no dio una prueba de esta desigualdad. En realidad, $a^ \theta b^ {1-\theta}$ $\leq$ $(a^p+b^p)^{1/p}$ es obvio (este es mi primer intento), y suficiente para demostrar la incrustación de teorema, pero siempre es interesante para dar una mayor nitidez de la desigualdad.

Traté de probar esta aparentemente elemental de la desigualdad, pero yo realmente no soy bueno en eso. ¿Alguien puede dar una inteligente respuesta? Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Ambos lados de la desigualdad son homogéneos, si multiplicamos $a$$b$$t > 0$, la expresión se multiplica con $t$. Por lo tanto, podemos suponer $a^p + b^p = 1$ (si $a = b = 0$, la desigualdad es trivialmente una igualdad). Así que tenemos que mostrar

$$ a^\theta b^{1-\theta} \leqslant \left[\theta^\theta(1-\theta)^{1-\theta}\right]^{1/p}$$

en virtud de la restricción $a^p+b^p = 1$.

Si $a = 0$ o $b = 0$, la desigualdad es de nuevo trivial, así que supongamos $a \neq 0 \neq b$.

Deje $\alpha = a^p$ y aumentar la desigualdad a la $p$-ésima potencia para obtener

$$\alpha^\theta(1-\alpha)^{1-\theta} \leqslant \theta^\theta(1-\theta)^{1-\theta}$$

la desigualdad que se muestra. Tomar el logaritmo y se diferencian con respecto a $\alpha$:

$$\frac{d}{d\alpha} \left(\log \alpha^\theta(1-\alpha)^{1-\theta}\right) = \frac{\theta}{\alpha} - \frac{1-\theta}{1-\alpha}.$$

Es fácil ver que la derivada es positiva para $0 < \alpha < \theta$ y negativo para $\theta < \alpha < 1$, por lo tanto $\alpha \mapsto \alpha^\theta(1-\alpha)^{1-\theta}$ tiene un único máximo en $\alpha = \theta$.

Answer 2

A partir de Jensen, podemos obtener, $$a^{\theta}b^{1 - \theta} \leq \theta a + (1 - \theta) b$$ para$a, b \geq 0$$0 \leq \theta \leq 1$.

Sustituto $a = (1 - \theta)a$$b = \theta b$, y lo consigue, $$((1 - \theta)a)^{\theta}(\theta b)^{1 - \theta} \leq \theta (1 - \theta) a + (1 - \theta) \theta b$$ lo que da, $$a^{\theta}b^{1 - \theta} \leq \theta^\theta (1 - \theta)^{1 - \theta} (a + b)$$

El resto debe seguir.