Cómo demostrar que existe un polinomio con grado a lo sumo $100\sqrt{nk}$ que satisfaga esta condición

Question

Demuestra que para números enteros positivos arbitrarios $n,k$, existe un polinomio $p(x)$, con grado a lo sumo $100\sqrt{nk}$, tal que $$p(0)>(|p(1)+|p(2)|+\cdots+|p(n)|)+(|p(-1)|+|p(-2)|+\cdots+|p(-k)|)$$

Este problema es el problema A.511 de Problemas en Matemáticas, mayo de 2010. Ver aquí. Este problema no tiene una solución publicada.

Gracias.

Answer 1

Ah, esto es una monada. No voy a prestar mucha atención a cuántos ceros exactamente hay en la constante $100$ (esto requiere ser más preciso en las estimaciones de lo que estoy dispuesto en este momento), pero la idea general es simple.

Paso 1: Supongamos que $k\le n$. Pongamos $A(z)=\prod_{m=1}^k(1-\frac{x^2}{m^2})$. De esta manera, solo necesitamos preocuparnos por los valores de $P(x)$ con $k

Paso 2: Si para cada $N\ge 1$, pudiéramos construir un polinomio $B(z)$ de grado aproximadamente $\sqrt N$ tal que $B(0)=1$ y $\max_{[1,N]}|\sqrt xB(x)|< \frac 1{2e}$, podríamos simplemente poner $N=\sqrt{n/k}$ y $P(z)=A(z)B(z/k)^{8k}$ o algo así (asumiendo $k>2$, por ejemplo).

Paso 3: Para construir $B(z)$, de hecho, usaremos un polinomio de Taylor. Sin embargo, aproximaremos no $F(z)=\frac{\sin z}{z}$, sino $F(z)=\frac{\sin 2e{\sqrt z}}{2e\sqrt{z}}$ con la rama estándar (positiva en $(0,+\infty)$) de $\sqrt z$, que sigue teniendo sentido y es entera porque $\frac{\sin z}{z}$ tiene solo potencias pares en su serie de Taylor. Para estimar el error de la aproximación en el disco $|z|