Dos introductorio de álgebra lineal problemas

Question

Recuerdo que cuando yo estaba en Moscú uno de mis deberes de las preguntas fue:

Hay un $2\times 4$ matriz cuyas $2\times 2$ de los menores de edad son:

a) $(2,3,4,5,6,7)$

b) $(3,4,5,6,7,8)$

c) $(5,6,7,8,9,10)$

Este problema se supone que es una aplicación fácil de algún resultado básico en álgebra multilineal, pero yo todavía no sé cómo resolverlo. También quiero hacer la pregunta para $n\times m$ matriz y $n\times n$ de los menores de edad en general, para lo cual tendremos $\displaystyle C^{m}_{n}=\frac{m!}{n!(m-n)!}$ números para elegir. Sólo sé que esto es de alguna manera relacionados con la intersección de las variedades, pero el problema es realmente pequeño, por lo que no debería ser algo de fácil solución.

El segundo problema, que apareció en mi la final del año pasado, fue este:

Deje $A$ $B$ dos matrices con $m$ filas y $n\ge m$ columnas. Demostrar que $$\det(AB^{t})=\sum_{I}\det A_{I} \det B_{I},$$ where the sum is running over all increasing sequences $I=(i_{1},i_{2},\dots,i_{m})\subset (1,2,\dots,n)$ and $A_{I},B_{I}$ mean $m\times m$-submatrices formed by $I$-columnas.

Este problema me da la misma sensación que se supone que es para primaria y solucionable con herramientas simples, pero yo no podía desentrañar a través de herramientas estándar disponibles. Siento que debe haber una forma mejor de hacerlo que la expansión de lado derecho a la igualdad de la izquierda, etc. Ha pasado un año y yo todavía no sé cómo resolverlo; así que me decidí a preguntar aquí. Este es de los últimos examen así que creo que está bien pedir en línea ahora.

Answer 1

Para la segunda pregunta, la fórmula se llama la de Cauchy-Binet fórmula, y la página de la wikipedia tiene una prueba.

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Un mayor nivel de perspectiva que indica cómo se puede derivar la fórmula es la siguiente. Dado lineal mapa de $A:V\to V$, lo $\det(V)$? Si nos cuña $A$ junto con el propio de $\dim V$ muchas veces, tenemos un lineal mapa de $\bigwedge^{\dim V} A: \bigwedge^{\dim V}V\to \bigwedge^{\dim V}V$. Sin embargo, desde la $\bigwedge^{\dim V}V$ es un unidimensional de espacio vectorial, este mapa debe ser la multiplicación por un escalar. Este escalar es $\det(A)$.

Debido a $V\mapsto \bigwedge^k V$ es functorial, si tenemos dos transformaciones lineales $A,B:V\to V$,$\bigwedge^{\dim V} (AB)=(\bigwedge^{\dim V} A)(\bigwedge^{\dim V} B)$, y, por tanto,$\det(AB)=\det A \det B$.

Lo que si tenemos un lineal de los mapas de $A:V\to W$$B:W\to V$, y queremos calcular $\det(BA)$? Por functoriality, tenemos $\det(BA)=\bigwedge^{\dim V}(BA)=(\bigwedge^{\dim V} B)(\bigwedge^{\dim V} A)$. Por lo tanto, necesitamos entender $\bigwedge^{\dim V} B$$\bigwedge^{\dim V} A$.

Deje $\dim V = m$$\dim W=n$$m\leq n$, y de fijar una base de $V$$W$, de modo que $A$ $B$ se dan como matrices. A continuación, tenemos una base para $\bigwedge^{\dim V} W$ dado por tomar las cuñas de $m$ vectores de la base de $W$, lo cual está en correspondencia con $m$ elemento de subconjuntos de a $[n]=\{1,2,\ldots, n\}$. Si $S\subset [n]$, dejamos $w_S$ la correspondiente base de vectores. Las coordenadas de $\bigwedge^{\dim V} A$ correspondiente a $w_S$ es exactamente el menor de edad procedentes de tomar las columnas del conjunto de $S$. Algo totalmente similar sucede con $B$.

Nos quedamos con dos transformaciones $\mathbb{F}\to \mathbb{F}^{\binom{n}{m}} \to \mathbb{F}$, y tenemos que las coordenadas de las transformaciones corresponden a menores de edad. El cálculo de la composición da la fórmula.

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Para la primera pregunta, mientras Luboš Motl ya ha dado una buena respuesta, no hay más contexto a tenido. El mapa que envía un $m \times n$ matriz a es de los menores es una forma de Plücker de incrustación, que se incorpora Grassmannians dentro de proyectiva del espacio (y, en particular, muestra que la Grassmannian es una variedad proyectiva).

Su caso particular, que con parámetros de líneas en $P^3$, es el ejemplo prototípico, y se trata de una clásica resultado de que la inclusión es definido por una única relación cuadrática (ver la página de la wikipedia. El problema que tiene es el de determinar cuáles de esos puntos están en el quadric definido por la incrustación.

Si tuviera que adivinar, diría que esta es la razón por la que le ha sido asignado el problema y qué se supone que para salir de ella.

Answer 2

Privět, sobre el primer problema, el de los menores no cambian si los dos 4-componente de las filas de la $2 \times 4$ matriz se resta de cada uno de los otros (como si se resuelve un conjunto de ecuaciones lineales) - porque el 6 entradas son realmente los componentes de una cuña de productos de los dos 4-dimensional filas. En particular, sin cambiar los menores de edad, siempre puedo llevar la matriz a la forma $$\begin{array}{ccc} e&0&a&b\\0&1&c&d\end{array}$$ Los menores de edad son, a continuación,$e,ec,ed,-a,+b,ad-bc$. Tenga en cuenta que sólo tengo cinco parámetros de $a,b,c,d,e$ ahora para ajustar seis menores de edad en su lista. ¿Cómo se puede averiguar si los seis números que pueden escribirse en esta forma? Tenga en cuenta que en mi lista, una vez más, $$e,ec,ed,-a,+b,ad-bc$$ es cierto que el pasado 6 de entrada multiplicado el 1er uno es igual a menos (el 4 veces 3er plus 5 de veces 2º), $e(ad-bc)$. Esta fórmula parece artificial, pero debe ser posible a fin de que los seis menores de edad como $A,B,C,D,E,F$, de modo que $$AB+CD+EF=0.$$ Este es un muy bien simétrica fórmula y no debe existir más covariante camino a la deriva, sin poner ceros en algunos lugares al azar jaja. Oh, yo realmente saber cómo derivar la fórmula de una manera sencilla. El 6 menores de edad son los componentes de la cuña del producto $W = r_1\wedge r_2$ que pertenece a un plano, por lo que su cuña de la plaza de la 4-forma - tiene que desaparecer. Es suficiente para recoger los coeficientes delante de $e_1\wedge e_2\wedge e_3\wedge e_4$ $W\wedge W$ - nota de que el último no se desvanecen de forma idéntica, porque son dos, incluso de 2 formas para que la cuña producto es simétrica. Este coeficiente, obviamente, se parecen a $AB+CD+EF$.

En cualquier caso, la ecuación anterior claramente no puede ser satisfecho con un resultado positivo de los menores de edad. Sin embargo, estoy seguro de que con otras posiciones de los ceros, y/o convenios de los signos de los menores de edad, usted puede voltear algunos de los signos en la ecuación anterior (dos firmar volteretas son equivalentes a uno - es la única forma de la ecuación no equivalentes a los tres términos idénticos), para obtener $$AB+CD=EF$$ En esta forma, es sencillo probar las permutaciones de tres listas de los menores de edad. Los posibles valores de $AB+CD-EF$, utilizando todas las permutaciones posibles de los seis menores de edad $A,B,C,D,E,F$, en los tres casos son:

{-20, -19, -16, -11, -9, -5, -4, -1, 0, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 16, 17, 20, 23, 24, 25, 28, 29, 31, 32, 35, 36, 40, 43, 44, 45, 49, 52, 53, 56}

{-18, -17, -14, -7, -5, -1, 2, 5, 6, 10, 13, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 30, 34, 35, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, 54, 58, 59, 61, 65, 70, 71, 74}

{-8, -7, -4, 7, 9, 13, 20, 23, 24, 28, 32, 35, 37, 41, 43, 47, 48, 49, 52, 56, 60, 61, 64, 65, 67, 71, 73, 77, 80, 83, 84, 88, 92, 97, 99, 103, 112, 113, 116}

Tenga en cuenta que el cero se encuentra sólo en el primer caso, tan sólo $(2,3,4,5,6,7)$ puede ser producido como a los menores de dicha matriz. El código de Mathematica he utilizado:

a = {2, 3, 4, 5, 6, 7} + p {1, 1, 1, 1, 1, 1};
f[v_] := v[[1]]*v[[2]] + v[[3]]*v[[4]] - v[[5]]*v[[6]];
b = Permutations[a];
Union[Map[f, b] /. {p -> 0}]
Union[Map[f, b] /. {p -> 1}]
Union[Map[f, b] /. {p -> 3}]

Si puedo ampliar la función de $f$ superior a

f[v_] := {v, v[[1]]*v[[2]] + v[[3]]*v[[4]] - v[[5]]*v[[6]]};

a continuación, los resultados también muestran mí el derecho de permutación que produce cero: $$ 2\times 5 + 3\times 6 - 4\times 7 = 0.$$ Entonces es sencillo escribir una matriz que tiene el derecho de menores $$\begin{array}{ccc} 2&0&1&-3/2\\0&2&3&5/2\end{array}$$ El subdeterminants se $4,6,5,-2,3,7$ para los pares de columnas $12,13,14,23,24,34$.

Answer 3

La segunda pregunta puede ser respondida a través de formas diferenciales. Concider lineal mapas $f(x)=B^t x$, $g(y)=Ay$, $z=f(y(x))$. A continuación, el volumen de $m$forma $w=dz_1\wedge dz_m$ puede ser escrito como la rhs en cuestión. Lhs puede ser considerado como el volumen coeficiente de dilatación del mapa resultante $f\circ g$. Sin diferencial de los formularios de esta prueba se pueden ver una especie de "volumen de la imagen de un cubo unitario después de la $f\circ g:\mathbb R^m\to\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ es igual a la suma correspondiente a todas orientadas a las proyecciones de $P_L g$ de las asignaciones $\mathbb R^m$ a $m$-dimensional coordinar subespacios $L\subset \mathbb R^n$: $f\circ g=\sum_L f\circ P_L g$."