Cómo ve $\sin x + \cos x$

Question

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \pi/4)$$

Hay una manera fácil de visualizar esta identidad o convertir el lado de la mano izquierda a la mano derecha?

En general, puede $p \sin x + q \cos x$ para algunos enteros $p$ $q$ ser fácilmente expresada como $\sin($algo$)$ o $\cos($algo$)$? Si es así, ¿cómo puede lograrse esto?

Answer 1

Intuitiva visualización:

El seno de $t$ $y$ coordenadas de un principio horizontal del vector unitario a medida que gira hacia la izquierda por $t$ radianes con respecto al origen.

El coseno de $t$ $y$ coordenadas de un principio vertical vector unitario en que gira en sentido antihorario por $t$ radianes con respecto al origen.

A continuación, $\sin t+\cos t$ $y$ de coordenadas sobre el que se muestra la suma de la horizontal y vertial de la unidad de vectores como el diagrama completo gira en sentido antihorario por $t$ radianes con respecto al origen.

Pero que es la misma como la rotación de puntos de vector sobre el origen por $t$ radianes. Ella tiene una longitud de $\sqrt 2$, y en su posición inicial es ya roated por $\pi/4$ radianes. Por lo tanto, podemos hacer que el vector de puntos por tomar el seno, la rotación por un $\pi/4$ radianes, y, a continuación, escalando todo por $\sqrt 2$.

La generalización a $p\sin t+q\sin t$ debe ser clara.

Answer 2

Dado $p \sin x + q \cos x$, dividir la expresión por $\sqrt{p^2+q^2}$ conseguir $a \sin x + b \cos x$$a^2 + b^2 = 1$. Ahora el nombre de $a = \cos \alpha$$b = \sin \alpha$. Aviso que lo que tienes es la expansión de $\sin(x+\alpha)$. En el caso dado, $a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$$\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Answer 3

Prueba sin palabras:

(Ver también esta respuesta.)

Answer 4

$$\sqrt 2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt 2\left(\sin x\cos \frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\cos x\right)=$$ $$\sqrt 2\left(\sin x\frac{1}{\sqrt 2}+\cos x\frac{1}{\sqrt 2}\right)=\sin x+\cos x$$

Answer 5

$$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$$

Así que para simplificar su segunda expresión escribir $p=r\cos(y)$$q=r\sin(y)$, de modo que $r=\sqrt{p^2+q^2}$$y=\arctan (\frac q p)$, entonces:

$$p\sin(x)+q\cos(x) = r\sin(x+y)$$