Traducciones enteras de una función de escala

Question

Creo que esto se plantea como un ejercicio estándar en los libros sobre ondículas (por ejemplo, el ejercicio 7.2 en El libro de Mallat ), pero no he podido encontrar una prueba. Dejemos que $\phi$ sea una función de escala (véase la definición más abajo). Me gustaría saber por qué $$\sum_{k\in\mathbb Z} \phi(x-k) = 1 $$
casi en todas partes.

Definición. Una secuencia de subespacios $\{V_j: j\in \mathbb{Z}\}$ de $L^2(\mathbb R)$ es llamado análisis multirresolución si cumple lo siguiente:

• $V_j \subset V_{j+1}$
• $\bigcap_{j}V_j = \{0\}$
• $\overline{\bigcup_jV_j} = L^2(\mathbb R)$
• $f(x)\in V_j$ si y sólo si $f(2x) \in V_{j+1}$
• Existe una función $\phi \in V_0$ tal que $\{\phi(x-k)\}_{k\in\mathbb Z}$ es una base ortogonal para $V_0$

La función $\phi$ aquí se llama como función de escala .

Answer 1

Creo que encontrarás la prueba de esto en Mallat 1989, 'Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of L^2'. El teorema 1 (en particular las ecuaciones (23), (36)) es lo que buscas. No es trivial, es más largo de demostrar de lo que pensé inmediatamente. Tal vez haya una prueba muy rápida, pero ahora no se me ocurre.