Calcular el $\#(Per_n(f))$ al $f(z)=z^2$

Question

DEFINICIONES:

Un número complejo $z_0$ es llamado un punto fijo de $f$ si $f(z_0)=z_0$. Se llama un periódico punto de plazo, $n>1$ $f$ si $f^i(z_0)\neq z_0$ $1\leq i \leq n-1$ pero $f^n(z_0)=z_0$. Un número complejo $z_0$ se llama preperiodic punto si $z_0,f(z_0),\ldots ,f^{k-1}(z_0)$ no son periódicas puntos, pero $f^k(z_0)$ es un periódico de punto para algunos $k\geq 1$. Vamos $$Fix(f^n)=\{z\in \Bbb C\mid f^n(z)=z\}$$ be the set of all fixed points of $f^n$. Let $Per_n(f)$ be the set of all periodic points of period $n$. Then it is clear $Per_n(f)\subseteq Fix(f^n)$.

PREGUNTA:

Considere la posibilidad de $f(z)=z^2$.

(a) Describa $Fix(f^n)$ y todos los preperiodic puntos.

(b) Calcular el $\#(Per_n(f))$.

INTENTO:

Me respondió la parte (a) mediante la búsqueda de todas las soluciones de $z^{2^n}=z$. He encontrado que $$Fix(f^n)=\{0\}\cup\{e^{2\pi ik/(2^n-1)}\mid k\in\Bbb Z , 1\leq k \leq 2^n-1\}.$$ i.e. zero union all $2^n-1^{th}$ roots of unity. Then, with a little more thought, I found that $$\{\text{preperiodic points of } f\}=\{e^{2\pi ir}\mid r\in \Bbb Q, r\neq {k\over{2^n-1}} \text{for any } k,n\in \Bbb N\}.$$ i.e. The periodic points of $f$ son todas las raíces racionales de la unidad, que no son puntos fijos a sí mismos.

He encontrado en la parte (b) a ser mucho más difícil, y esta es la pregunta que me plantean en el foro. He calculado estos conjuntos con la mano para $1\leq n\leq 8$, trabajando con aritmética modular, y pensaba que estaba en algo, pero golpeó una pared. Entonces hice la ordenación de la obvia constatación de que $$\#(Per_n(f))=2^n-\sum _{k\mid n, 1\leq k\leq n} \#(Per_k(f)).$$ I think that this is correct, but I'm unhapy with the recursive definition (although it does simplify to be just $2^n-2$ when $2^n-1$ is prime). Is it possible to find the order of this set explicitly for all $$n?

Answer 1

Deje $P(n)=\#(Per_n(f))$ el número de periódicos puntos de plazo, $n$ $f$ $F(n)$ el número de puntos fijos de $f^n$. Es claro, como usted ya, que $$ 2^n=F(n)=\sum_{d\mediados n}P(d). $$ Esta fórmula permite encontrar $P(n)$ para valores pequeños de a $n$ $n$'s con unos divisores. Por ejemplo, si $n$ es primo, entonces $P(n)=F(n)-P(1)=2^n-2$. Trate de encontrar a $P(p\,q)$ $p$ $q$ números primos.

Como para explícita fórmulas para $P(n)$, Möbius de la inversión de la fórmulada $$ P(n)=\sum_{d\mediados n}\mu(d)\,F\Bigl(\frac{n}{d}\Bigr)=\sum_{d\mediados n}\mu(d)\,2^{n/d}, $$ donde $\mu$ es la función de Möbius. No es de gran valor práctico.

Sugiero que calcular unos valores de $P(n)$ y, a continuación, busque la secuencia en el On-Line de la Enciclopedia de Secuencias de Enteros.