Distribución de la suma recíproca de los primos $\le 1$

Question

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\cdots \le 1 $$

Esta es una interesante suma infinita. Esto se parece mucho a mi otro problema que tiene que ver con la distribución de los compuestos. Ese otro problema es aquí . Se aplican las mismas reglas de ese otro resumen, pero es bueno repetirlas :).

Reglas de esta suma:

1) Todos los términos de la suma deben ser recíprocos de algún primo. Por ejemplo, $\frac{1}{6}$ nunca podría ser un término porque 6 no es un número primo.

2) El siguiente término debe ser el mayor término recíproco que no permita la suma completa $>1$ . El siguiente término también debe ser < el término anterior.

3) La suma también debe ser permanentemente inferior a $1$ si se detuviera en un número $\lt \infty$ . Si se detuviera en el plazo $\infty$ entonces la suma ascendería exactamente a $1$ por definición.

Ahora que conoces las reglas, debemos reescribir la suma de otra manera para proponer mi pregunta de forma razonable. $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\cdots\le 1$$ Como una mota de aclaración, $a, b, c, d$ etc. representan $2, 3, 7, 43$ etc., respectivamente.

La pregunta:

-Envisión $ f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$ y así sucesivamente. Hay que tener en cuenta que hay un número infinito de términos, por lo tanto un número infinito de variables para representar los primos. Mi pregunta es qué función, $f(n)$ , podría sostener esta propiedad y mantenerla sin importar el plazo en el que se encuentre.

-El que ama esto debe recordar que $a, b, c, d$ etc. son números enteros en lugar de fracciones en este caso y por lo tanto $f(1) \not= 1/a, f(1) \not= 1/b$ etc. Sin embargo, el recíproco es la forma en la que los números tienen esa interesante propiedad.

-Qué es $f(n)$ ? (La pregunta principal)

-Cuando responda a esta pregunta, haga lo siguiente, proporcione algún tipo de prueba o explique su caso. Si me he olvidado de algo obvio, por favor hazme saber qué es con un sitio web en los comentarios.

¡Que tengas un buen día! Gracias.

Answer 1

Esta función puede definirse recursivamente como $$f(a) = NP\Big{(}\big{(}1-\sum_{k=1}^{a-1}\frac{1}{f(k)}\big{)}^{-1}\Big{)}$$ donde $NP(x)$ es el función del siguiente primo . En otras palabras, se busca el primo más cercano mayor que el número mínimo que se necesita para que la suma sea menor que uno para encontrar $f(a)$ . Por lo tanto, esta suma no puede expresarse explícitamente debido a la función "siguiente primo" utilizada en la recursión.