De acuerdo a un problema en Shafarevich 1.6, cada curva en $\mathbb{A}^3$ puede ser cortada por 3 ecuaciones.
Alguien puede darme un ejemplo de una curva en $\mathbb{A}^3$ que no está cortada por 2 ecuaciones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto es principalmente un comentario largo.
Considere la curva $C$ parametrizadas por $t\mapsto(t^3,t^4,t^5)$, como en el de Dylan comentario.
Deje $A=k[x,y,z]$ ser el polinomio anillo de tres variables, y vamos a considerar como anillo graduado con $x$, $y$ y $z$ de grados $3$, $4$ y $5$, respectivamente.
Supongamos $p=\sum_{i,j,k\geq0}\alpha_{i,j,k}x^iy^jz^k\in A$ es un polinomio tal que $p(t^3,t^4,t^5)=0$, por lo que el $p$ se desvanece en la curva de $C$. Entonces $$\sum_{\ell\geq0}\Bigl(\sum_{\substack{i,j,k\geq0\\3i+4j+5k=\ell}}\alpha_{i,j,k}\Bigr)t^\ell=0$$ so we see that for each $\ell\geq0$ we have $$\sum_{\substack{i,j,k\geq0\\3i+4j+5k=\ell}}\alpha_{i,j,k}=0.$$ Now, if for each $\ell\geq0$ we define the polynomial $$p_\ell=\sum_{\substack{i,j,k\geq0\\3i+4j+5k=\ell}}\alpha_{i,j,k}x^iy^jz^k,$$ we have first that $$p_\ell(t^3,t^4,t^5)=0,$$ so that $p_\ell$ vanishes on $C$, and $p_\ell$ is homogeneous of degree $\ell$ in our graded ring $A$. Our polynomial $p=\sum_{\ell\geq0}p_\ell$ is therefore a sum of homogeneous elements of $I$.
Esto significa que el ideal de $I\subseteq A$ de los polinomios que se desvanecen en $C$ es homogénea: es generado por la homogeneidad de los elementos que contiene.
Ahora, es fácil ver que los subespacios de $I$ homogéneo de elementos de grados $8$, $9$, y $10$ $1$- dimensional, se extendió, respectivamente, por los tres polinomios $x z-y^2$, $y z-x^3$ y $z^2-x^2 y$. Por otra parte, también es fácil ver que todos los componentes homogéneos de $I$ de grado menor que $8$ cero: de hecho, el monomials $1$, $x$, $y$, $z$, $x^3$ y $xy$ de intervalo de la suma directa de los componentes homogéneos de $A$ de grado menor que $8$, y el no-cero combinación lineal de ellos se desvanece en $C$, como un poco de computación.
Pensando un poco sobre qué significa todo esto, vemos que los tres polinomios $x z-y^2$, $y z-x^3$ y $z^2-x^2 y$ debe pertenecer a cualquier generación del sistema de $I$. Esto demuestra que $C$ no es un completo intersección. Esto puede o puede no ser lo que Shafarevich tiene en mente, como "corte" también puede significar set-teóricamente, como Dylan notas.
Si lo que quiere decir el último, entonces este ejemplo no funciona: Ernst Kunz muestra, en su Introducción al álgebra conmutativa y geometría algebraica, que todos los monomio curvas afín $3$-espacio se establecen-en teoría completa de las intersecciones.
