Demostrar que $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2(n-1)}{2^n} = 20$

Question

Esta suma $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2(n-1)}{2^n} $mostró como estaba calcular el valor esperado de una variable aleatoria. Mi calculadora me dice que $\,\,\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2(n-1)}{2^n} = 20$. ¿Cómo puedo demostrar que?

Sé cómo encontrar el valor de la suma de $\,\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n},\,$ pero no puedo lidiar con $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n}$

Answer 1

Tenga en cuenta que $\sum\limits_nt^n=\frac1{1-t}$ por cada $|t|\lt1$ por lo tanto, la diferenciación de dos veces y tres veces, $$\sum_nn(n-1)t^{n-2}=\frac2{(1-t)^3},\qquad\sum_nn(n-1)(n-2)t^{n-3}=\frac6{(1-t)^4}.$$ For $t=\frac12$, this reads $$\sum_nn(n-1)\frac1{2^{n-2}}=2\cdot2^3,\qquad\sum_nn(n-1)(n-2)\frac1{2^{n-3}}=6\cdot2^4,$$ which implies $$\sum_nn(n-1)\frac1{2^{n}}=\frac14\cdot2\cdot2^3=\color{red}{4},\qquad\sum_nn(n-1)(n-2)\frac1{2^{n}}=\frac18\cdot6\cdot2^4=\color{blue}{12}.$$ Finally, $$n^2(n-1)=\color{green}{2}\cdot n(n-1)+n(n-1)(n-2),$$ hence $$\sum_nn^2(n-1)\frac1{2^{n}}=\color{green}{2}\cdot\sum_nn(n-1)\frac1{2^{n}}+\sum_nn(n-1)(n-2)\frac1{2^{n}}=\color{green}{2}\cdot\color{red}{4}+\color{blue}{12}.$$ This approach can be made shorter if one notices once and for all that, for every nonnegative $k$, $$\sum_nn(n-1)\cdots(n-k)\frac1{2^{n}}=2\cdot(k+1)!.$$

Answer 2

Para $\lvert x\rvert<1$ tenemos que $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x},$ por lo tanto la diferenciación de ambos lados obtenemos $$ \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^{n}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}, $$ mientras que la diferenciación, una vez más $$ \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)x^{n}=\frac{2}{(1-x)^3}, $$ y una vez más $$ \sum_{n=0}^\infty (n+3)(n+2)(n+1)x^{n}=\frac{6}{(1-x)^4}. $$ A continuación, hemos de expresar $n^2(n-1)$ como una combinación lineal de $(n+3)(n+2)(n+1)$, $(n+2)(n+1)$, $(n+1)$ y $1$: $$ n^2(n-1)=(n+3)(n+2)(n+1)-7(n+2)(n+1)+10(n+1)-2, $$ y por lo tanto $$ \sum_{n=0}^\infty n^2(n-1)x^n=\frac{6}{(1-x)^4}-\frac{14}{(1-x)^3}+\frac{10}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}, $$ y establecimiento $x=1/2$ obtenemos que $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2(n-1)}{2^n}=6\cdot 16-4\cdot 8+10\cdot 4-4=20. $$

Answer 3

demostrar por inducción que $\sum_{n=1}^m\frac{n^2(n-1)}{2^n}=-4\, \left( 1/2 \right) ^{m+1} \left( m+1 \right) ^{2}-14\, \left( 1/2 \right) ^{m+1} \left( m+1 \right) -20\, \left( 1/2 \right) ^{m+1}-2\, \left( 1/2 \right) ^{m+1} \left( m+1 \right) ^{3}+20 $

Answer 4

Decir $f(x) = \sum_0^{\infty} \frac{x^n}{2^n} = \frac{1}{1-\tfrac{x}{2}}$. Los tres primeros derivados de $f$ serán combinaciones lineales de $a_k(x)=\sum^{\infty} \frac{n^k x^n}{2^n}$ $k=1...3$ y son fáciles de calcular el uso de $f$'s la forma cerrada.

Resolver el sistema de ecuaciones en $a_k$ y usted puede calcular su suma.

Answer 5

Me gusta el triángulo de la suma de la técnica:

Tomemos, por ejemplo:

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}$

$\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{8}+...=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}=2$

$\hspace{20pt} 2\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{8}+...=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2^n}}=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}+\frac{1}{2^n}}=\frac{1}{2}\cdot (2+1)$

$\hspace{53pt} 3\cdot\frac{1}{8}+...$=$\frac{1}{4}{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n+2}{2^n}}$=$\frac{1}{4}{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}+2\cdot\frac{1}{2^n}}=\frac{1}{4}\cdot (2+2)$

$\hspace{100pt} .......$

$ 2+\frac{1}{2}\cdot (2+1)+\frac{1}{4}\cdot (2+2)+...=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2+n}{2^n}=2\cdot \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}=4+2=6$

Pruébalo ahora?

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n}$

$\frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{4}+9\cdot\frac{1}{8}+...=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}$

$\hspace{20pt} 4\cdot\frac{1}{4}+9\cdot\frac{1}{8}+...=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^2}{2^n}}$

$\hspace{53pt} 9\cdot\frac{1}{8}+...=\frac{1}{4}{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+2)^2}{2^n}}$

Sugerencia: $\displaystyle \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{2^m}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+m)^2}{2^n}$