Deje $J_{\nu}(z)$ la función de Bessel de primera especie se define como
$$
J_\nu(z) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\nu+1)} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+\nu} \tag 1
$$
y $Y_{\nu}(z)$ la función de Bessel de segunda clase (o Weber función o función Neumann) que se define como
$$
Y_{\nu}(z)=\frac{J_{\nu}(z)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(z)}{\sin(\nu\pi} \tag 2
$$
o el límite de la integral $\nu$, $\nu=n$. Para la integral de la $\nu$, el uso de la de l'Hospital de la regla que hemos
$$\begin{align}
Y_{n}(z)
&=\lim_{\nu\to n}\frac{J_{\nu}(z)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(z)}{\sin(\nu\pi)}\\
&=\lim_{\nu\to n}\frac{\frac{\partial}{\partial \nu}\left(J_{\nu}(z)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(z)\right)}{\frac{\partial}{\partial \nu}\sin(\nu\pi)}\\
&=\lim_{\nu\to n}\frac{\frac{\partial J_{\nu}(z)}{\partial \nu}\cos(\nu\pi)-\pi J_{\nu}(z)\sin(\nu\pi)-\frac{\partial J_{-\nu}(z)}{\partial \nu}}{\pi\cos(\nu\pi)}\\
&=\frac{1}{\pi}\left[\left.\frac{\partial J_{\nu}(z)}{\partial \nu}\right|_{\nu=n}-(-1)^n\left.\frac{\partial J_{-\nu}(z)}{\partial \nu}\right|_{\nu=n}\right]\tag 3
\end{align}
$$
donde se utilizó $\cos(n\pi)=(-1)^n$$\sin(n\pi)=0$.
Ahora debemos obtener de Hankel de la expansión de la función $Y_n(z)$ donde $n$ es cualquier entero positivo. Es claro que
$$
\begin{align}
\frac{\partial J_{\nu}(z)}{\partial \nu}
&= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!}\frac{\partial }{\partial \nu}\left\{\frac{1}{\Gamma(m+\nu+1)} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+\nu} \right\}\\
&= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\nu+1)} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+\nu} \left\{\log\left(\tfrac{z}{2}\right)-\psi(\nu+m+1)\right\}\tag 4
\end{align}
$$
la observación de que
$$
\frac{\partial }{\partial \nu} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+\nu}={\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+\nu}\log\left(\tfrac{z}{2}\right)
$$
y
$$
\frac{\partial }{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(m+\nu+1)}=-\frac{\frac{\partial }{\partial \nu}\Gamma(m+\nu+1)}{[\Gamma(m+\nu+1)]^2}=-\frac{\psi(m+\nu+1)}{\Gamma(m+\nu+1)}
$$
y $\psi(z)=\frac{\operatorname{d}\log \Gamma(z)}{\operatorname{d}z}=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$ es la función digamma.
Para $\nu\to n$ el (4) se convierte en
$$
\begin{align}
\left.\frac{\partial J_{\nu}(z)}{\partial \nu}\right|_{\nu=n}
&= \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, (m+n)!} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+n} \left\{\log\left(\frac{z}{2}\right)-\psi(n+m+1)\right\}. \tag 5
\end{align}
$$
La evaluación de las $\left.\frac{\partial J_{-\nu}(z)}{\partial \nu}\right|_{\nu=n}$ es un poco más tedioso, debido a que el polo de $\psi(-\nu+m+1)$ $\nu=n$ en los términos de los cuales,$m=0,1, \ldots,n-1$. Nos brack la serie para $J_{-\nu}(z)$ en dos partes, así
$$
J_{-\nu}(z) = \sum_{m=0}^{n-1} \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m-\nu+1)} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m-\nu}+\sum_{m=n}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m-\nu+1)} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m-\nu}
$$
y en la antigua parte de reemplazar
$$
\frac{1}{\Gamma(m-\nu+1)}=\frac{\Gamma(\nu-m)\sin((\nu-m)\pi}{\pi}
$$
el uso de la reflexión de la fórmula para la función Gamma $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}$.
Ahora, cuando $0\le m\le n$,
$$
\begin{align}
&
\left.\frac{\partial }{\partial \nu} \left\{\frac{\Gamma(\nu-m)\sin((\nu-m)\pi)}{\pi}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m-\nu}\right\} \right|_{\nu=n}\\
&\quad=
{\left(\tfrac{z}{2}\right)}^{2m-\nu}\Gamma(\nu-m)\frac{1}{\pi}\times\\
&\qquad\times\left.
\left\{
\psi(\nu-m)\sin((\nu-m)\pi)+
\pi\cos((\nu-m)\pi)-\log\left(\tfrac{z}{2}\right)\sin((\nu-m)\pi)
\right\}\right|_{\nu=n}\\
&\quad=
{\left(\tfrac{z}{2}\right)}^{2m-n}\Gamma(n-m)\cos((n-m)\pi).
\end{align}
$$
Por lo tanto
$$
\begin{align}
\left.\frac{\partial J_{-\nu}(z)}{\partial \nu}\right|_{\nu=n}
&= \sum_{m=0}^{n-1} \frac{(-1)^n\, \Gamma(m-n)}{m!} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m-n}+\\
&\quad+\sum_{m=n}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!(m-n)!} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m-n}\left\{-\log\left(\frac{z}{2}\right)+\psi(-n+m+1)\right\}
\end{align}
$$
que es
$$
\begin{align}
\left.\frac{\partial J_{-\nu}(z)}{\partial \nu}\right|_{\nu=n}
&= (-1)^n\, \sum_{m=0}^{n-1} \frac{(n-m-1)!}{m!} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m-n}+\\
&\quad+(-1)^{n-1}\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!(m+n)!} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+n}\left\{\log\left(\frac{z}{2}\right)-\psi(m+1)\right\}
\end{align}\tag 6
$$
cuando reemplazamos $m$ $n+m$ en el segundo de la serie.
La combinación de (5) y (6), (3) se convierte en
$$
\begin{align}
\pi Y_n(z)
&= -\sum_{m=0}^{n-1} \frac{(n-m-1)!}{m!} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m-n}+\\
&\quad+\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!(m+n)!} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+n}\left\{2\log\left(\frac{z}{2}\right)-\psi(m+1)-\psi(n+m+1)\right\}\\
&= 2\left[\gamma+ \log\left(\tfrac{z}{2}\right)\right]J_n(z)
-\sum_{m=0}^{n-1} \frac{(n-m-1)!}{m!} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m-n}+\\
&\quad-\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!(m+n)!} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+n}\left\{\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k}+
\sum_{k=1}^{n+m}\frac{1}{k}
\right\}\\
\end{align}
$$
el uso de la relación $\psi(n+1)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\gamma$ donde $\gamma$ es la Constante de Euler.
Así tenemos
$$
Y_n(z)=\frac{2}{\pi}\left[\gamma+ \log\left(\tfrac{z}{2}\right)\right]J_n(z)
-\frac{1}{\pi}\sum_{m=0}^{n-1} \frac{(n-m-1)!}{m.} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m-n}+\\
\qquad\qquad\quad-\frac{1}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!(m+n)!} {\left(\frac{z}{2}\right)}^{2m+n}\left\{\sum_{k=0}^{m-1}\frac{1}{k+1}+
\sum_{k=0}^{n+m-1}\frac{1}{k+1}
\right\}\etiqueta de 7
$$
conocido también como de Hankel de la fórmula.
