¿Cuál es la forma más fácil de integrar $\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{1/2}?$

Question

Esta es una integral indefinida que se supone que es muy fácil:

$$I=\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx$$

Sólo se me ocurre una forma de calcularlo, y es un poco complicada, eso sí:

• sustituto $x=\sin u$ y obtener $dx=(\cos u)\,du$ y $$I=\int\sqrt{\frac{1-\sin u}{1+\sin u}}(\cos u) \,du=\int\frac{1-\tan\frac{u}{2}}{1+\tan\frac{u}{2}}(\cos u)\,du.$$

• sustituto $t=\tan \dfrac u2$ , obteniendo $du=\dfrac{2\,dt}{1+t^2},$ $\cos u=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ y $$I=\int \frac{1-t}{1+t}\frac{1-t^2}{1+t^2}\frac2{1+t^2}\,dt=2\int\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2\,dt,$$

que se puede calcular. Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea correcto. Pero incluso si lo es, creo que esta forma es demasiado difícil para el lugar en el que encontré esta integral, que es un conjunto de integrales indefinidas donde funcionan las sustituciones obvias y no es necesario ningún conocimiento más allá de cómo funciona la sustitución en general. Creo que debe haber una forma fácil de hacerlo que no veo.

Answer 1

Multiplica la parte superior e inferior del argumento de tu raíz cuadrada por $1-x$ para conseguirlo: $$I=\int\sqrt{\frac{(1-x)^{2}}{1-x^{2}}}dx=\int\frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$$ La primera integral da lugar a la subsunción $x=\sin(\theta)$ y el segundo a $u=x^{2}$ .

Answer 2

¿Qué tal esto? $$ \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx = \int \sqrt{ \frac{(1-x)^2}{1-x^2}} dx = \int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} dx$$ que es solucionable por medio de u-subst. y el seno inverso.

Answer 3

Sustituir $u = \sqrt{(1-x)/(1+x)}$ y se obtiene un integrando racional.

Answer 4

Utilizar la identidad $\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$ . Sea $x=\cos 2\theta$ .

Answer 5

Había una forma alternativa de proceder.

$$\int\sqrt{\frac{1-\sin u}{1+\sin u}}\cos udu=\int\sqrt{\frac{(1-\sin u)^2}{1-\sin^2u}}\cos udu=$$ $$\int(1-\sin u)du$$

Además, si conoces tus identidades trigonométricas, haciendo la sustitución $x=\cos u$ rinde

$$\int-\sqrt{\frac{1-\cos u}{1+\cos u}}\sin udu=-\int\tan\frac u2\sin udu=$$ $$-\int\left(\frac{1-\cos u}{\sin u}\right)\sin udu$$