¿Por qué es inaceptable decir "el rango es una función del dominio"?

Question

Entiendo que un función se define como una correspondencia entre dos conjuntos, el dominio y el gama .

Aunque las definiciones del dominio de una función y el rango de una función se dice que están contenidas en la definición de un función .

Ahora bien, cuando una medida varía con el tiempo decimos que es una función del tiempo. ¿Por qué no es generalmente aceptable sustituir la palabra "medida" por gama y la palabra "tiempo" con dominio y decir que el rango es una función del dominio, del mismo modo que decimos que y es una función de x?

Answer 1

Estás en el campo de prácticas, si te gusta el golf. Tienes un cubo de bolas que golpeas en el campo que tienes delante. El lugar en el que caen las bolas (una "medida", si se quiere) es un función de cómo se golpean las bolas . El dominio de esta función es el cubo de bolas y el "rango" es donde cae cada una de las bolas. En este caso, el rango no tiene nada que ver con el cubo de bolas que tienes delante, sino con cómo se golpean las bolas . Por lo tanto, no tiene sentido decir que el lugar donde caen las bolas depende del hecho de que se tenga un cubo de bolas para empezar.

Answer 2

Todas las demás respuestas son perfectamente correctas. Permítanme señalar, sin embargo, que un abuso común de la notación puede llevar a un sentido en el que el rango es ¡significativamente una función del dominio!

Aunque se supone que el dominio y el rango (bueno, el codominio) se hacen explícitos al definir una función, es bastante común en el lenguaje natural decir simplemente, por ejemplo $$\mbox{"let $ f(x)=x^2 $."}$$ Tal vez el dominio $\mathbb{R}$ est claro por el contexto , pero otros dominios - $\mathbb{C}$ , $\mathbb{Z}$ todos los números reales entre $\pi$ y $17$ - también tendría sentido.

Podría decirse que al hablar rápidamente así lo que tenemos es una especie de metafunción: si me dices qué dominio tiene tu función $f(x)=x^2$ tiene, entonces sé qué función tiene en mente; pero no hay un dominio "correcto" obvio para que tenga. Así que, en este sentido, el rango es una función del dominio. Si el dominio es $\mathbb{C}$ el rango es $\mathbb{C}$ si el dominio es $[0, 3]$ el rango es $[0, 9]$ etc.

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Por un lado, esto es muy tonto, y en realidad sólo es un problema porque no fuimos claros en nuestro lenguaje: dijimos algo así como "dejemos $f(x)=x^2$ " en lugar de "dejar $f(x)=x^2$ para $x\in\mathbb{R}$ etc. Por otro lado, en realidad no es ninguna tontería: hay muchas veces que tenemos una función "definible" con un "dominio" variable, de forma muy precisa. Sin embargo, esto ocurre mucho más adelante en el camino matemático. Por ahora, no hay que pensar en el rango como una función del dominio.

Answer 3

Te sugiero que eches un vistazo a los artículos de la wikipedia dominio , imagen y conjunto de codominio/objetivo. Como se describe en los artículos, el rango puede referirse a la imagen o al codominio.

Considere la función $f\colon X\to Y$ . $X$ es el dominio y $Y$ es el codominio. No todo en $Y$ puede ser "golpeado" por la función. La imagen de la función se define como $\{ \, y \in Y \, | \, y = f(x) \text{ for some } x \in A \, \}$ .

Ejemplo: $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x) = x^2$

El dominio y el codominio son $\mathbb{R}$ . Pero la imagen es $[0,\infty)$ .

Answer 4

He aquí otra interpretación de su pregunta, en la que su afirmación es cierta:

Considere una función $f:X\to Y$ , donde $X$ es el dominio y $Y$ el codominio (lo que significa que, para cualquier $x$ en $X$ sabemos que $f(x)$ es un elemento de $Y$ - pero puede no ser cierto que cada elemento de $y$ es la imagen de algún $x$ en $X$ ).

Ahora, denotemos por ${\mathcal P}(X)$ el conjunto de poderes de $X$ . Entonces, a cada función $f$ puede asociarse a función $\overline{f}:{\mathcal P}(X)\to{\mathcal P}(Y)$ definido por $\overline{f}(A)=\{ y\in Y\ |\ \exists a\in A, y=f(a)\ \}$

Por último, podemos restringir la función $f$ a un subconjunto $A$ de $X$ . Si denotamos $f_{|A}$ tal restricción, entonces su dominio es $A$ y su alcance es $\overline{f}(A)$ . En este caso, ¡el rango es efectivamente una función del dominio!

Nota: He utilizado el término función en un sentido bastante amplio (pero frecuente en la teoría de conjuntos). Algunos llamarían $\overline{f}$ un aplicación ya que su entrada no son números.

Answer 5

Actualización: Creo que hay conceptos matemáticos que hacen lo que yo pienso que realmente quieres hacer. Sin embargo, hay cierta confusión en cuanto a la terminología.

Supongamos que tenemos una función de un conjunto (el dominio) a otro conjunto (el codominio); por ejemplo, consideremos la función $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que para cualquier $x \in \mathbb R$ definimos $f(x) = x + 2$ . Esta función "mapea" cualquier punto de la recta de los números reales a un punto $2$ unidades de distancia en la dirección positiva.

Es posible que queramos utilizar esta función $f$ para definir una transformación que tome arbitraria subconjuntos de $\mathbb R$ a subconjuntos de $\mathbb R$ en lugar de actuar sólo sobre un miembro de $\mathbb R$ a la vez. Con un ligero abuso de la notación, podemos escribir $f(A) = \{ x \mid x = f(y), y \in A \}.$ (Llamo a esto un "abuso de notación" porque realmente estamos usando el mismo nombre, $f$ para dos objetos; el " $f$ "en el lado derecho de la ecuación es una función que estamos utilizando para definir un nuevo objeto, también llamado $f$ en el lado izquierdo de la ecuación).

El efecto de esta definición es que $f(A)$ es el conjunto de números que obtendrías si pudieras mover todo el conjunto de números, $A$ exactamente $2$ unidades en la dirección positiva (suponiendo que la función original $f$ se define como arriba). El conjunto resultante, $f(A)$ es una función del conjunto $A$ al que aplicamos la transformación.

Si esto es lo que busca, se trata simplemente de una diferencia terminológica. Para la transformación que toma conjuntos arbitrarios de números reales ( $A$ ) a otros conjuntos de números reales ( $f(A)$ ), probablemente llamaría a cada conjunto $A$ simplemente un "conjunto" o posiblemente una "preimagen" (en lugar de un "dominio") y llamaría $f(A)$ la "imagen de $A$ " en lugar del "rango de una función".

Así que una simple función $f : \mathbb R \to \mathbb R$ sí da lugar a una transformación tal que el imagen , $f(A)$ de cualquier conjunto de números reales, $A$ bajo esta transformación es una función del preimagen , $A$ . Creo que esa es la función que está buscando.

Si estuviera buscando un dominio y gama, Yo me quedaría con el conjunto de potencia de $\mathbb R$ (el conjunto de todos los subconjuntos de $\mathbb R$ ) como dominio y codominio de la transformación; y si se utiliza la palabra "rango" para significar "codominio" como hace mucha gente, llamaría al conjunto de potencias de $\mathbb R$ el alcance de la transformación también. No creo que esto sea lo que querías.

Si debemos considerar la pregunta exactamente como está escrita, utilizando los significados estándar de las palabras "dominio" y "rango", mi respuesta anterior (más abajo) puede arrojar algo de luz sobre la dificultad de intentar hacerlo.

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¿Por qué no es generalmente aceptable sustituir la palabra "medida" por rango y la palabra "tiempo" por dominio, y decir que el rango es una función del dominio?

¿Por qué no sustituir la palabra "césped" por "museo" y la palabra "verde" por "temprano", para poder decir: "El museo siempre está más temprano al otro lado de la valla"?

En lugar de preguntar por qué no podemos sustituir una palabra por otra en cualquier forma que elijamos, tal vez quieras pensar en cómo justificar que podría sustituir la palabra "medida" por "rango" y la palabra "tiempo" por "dominio" y seguir escribiendo cosas que tengan sentido.

Le site dominio de una función consiste en todos los valores posibles del parámetro o parámetros de la función, a veces llamados variable(s) independiente(s), cada uno de los cuales podría ser un "tiempo" pero muy a menudo no lo es. La página web gama de una función consiste en todos los valores posibles (que podríamos llamar medidas) de la función. (Los valores "posibles" son los miembros del conjunto del que dijimos que podían provenir los valores de la función, o simplemente el conjunto que contiene cada valor que la función realmente toma cuando la aplicamos a algún miembro del dominio, dependiendo de si realmente quieres decir codominio o imagen cuando escribes "rango").

¿De qué manera una "medida" sustituye a todos los valores de todo el rango de la función, y de qué manera un "tiempo" sustituye a todo el conjunto de valores de los parámetros en el dominio de la función?

Parte de la definición de una función es su dominio. Si cambias el dominio, tienes una función diferente.

Hay una manera legítima de escribir algo que se parece a lo que has intentado escribir, pero requiere pensar en funciones que son muy diferentes de cualquier función que te encontrarías en la escuela secundaria o incluso en la mayoría de los cursos de matemáticas de la universidad. El secreto es que una función es sólo una relación entre conjuntos, y las funciones en sí mismas son objetos que pueden organizarse en conjuntos, así que es posible tener una función que actúe sobre funciones en su dominio, o que produzca funciones en su rango, o ambas cosas. Pero sospecho que esto no es en absoluto el tipo de cosa que querías hacer.