¿Qué tipo de cosas pueden salir mal si tratamos de hacer de la mecánica cuántica en un nonseparable Hilbert el espacio? He oído que es habitual la manipulación matemática que tomamos para concedido ya no serán. Lo que estoy buscando es un general de alto nivel de argumento que explica por qué las cosas iban a ir mal o algunos ejemplos concretos en los que es así.
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Federico
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La principal cosa que va mal en nonseparable Hibert espacio es la pérdida de Piedra-teorema de von Neumann. A grandes rasgos, la Estufa-von Neumann teorema nos asegura que Schroedinger representación de la canónica de las conmutaciones de las reglas es irreducibile, y es único modulo unitario de equivalencia. Por lo tanto Schroendinger y Heisenberg fotos son físicamente equivalentes, y todas las imágenes obtenidas por Schroedinger uno por medio de la adjoint de acción del grupo de la central unitaria de operadores en el espacio de Hilbert es físicamente equivalente a la de Schroedinger.
Observación. Divisibilidad del espacio de Hilbert es parte de la conlusion de la Piedra-teorema de von Neumann, no de la hipótesis. De hecho, no hay lesiones físicas graves a solicitud de la divisibilidad del espacio de Hilbert. Todo lo que se requiere en la hipótesis es que Weyl reglas de conmutación puede ser irreductibilidad representados en algún espacio de Hilbert, que a posteriori resulta ser separables. Este es un físico de la solicitud, siendo el directo de la formalización de los Heisenberg-Born-Jordan reglas de conmutación extrapolados a partir de expertiments.
Observación. Se puede observar que también en QFT Piedra-von Neumann cae. Esto es cierto, pero por una razón diferente: una de las hipótesis es que estamos tratando con finito de grados de libertad, mientras que especificar el estado de un campo en un momento dado se requiere para dar el valor de un número infinito de parámetros. Este es, efectivamente, una phyisically situación diferente, matemáticamente codificados en la diferente calidad de las declaraciones.
El mejor ejemplo conocido de una teoría dotado de una nonseparable espacio de Hilbert es Loop Quantum Gravity. En fin, a ver cómo nonseparable personaje juega su papel, es conveniente tomar en cuenta su "aproximación de primer orden" (en un sentido), el llamado polímero de la mecánica cuántica. En este contexto, es particularmente fácil de ver que de costumbre cantidades físicas, por ejemplo, el espectro del oscilador armónico, obtener una corrección de orden $\hbar^2$ o menor. Por lo tanto, este modelo proporciona un método para verificar su corrección (o no), pero las correcciones son tan pequeñas que esto va a ser difícil de hacer en la práctica. Obviamente, hasta ahora LQG y modelos relacionados, no son teorías físicas, así que este punto es puramente académica. Yo no soy consciente de ningún ejemplo de significado físico de la teoría de tener un nonseparable espacio de Hilbert.
Observación. En Hilbert separables de los espacios, de bases ortonormales puede ser explícitamente construido por medio de Grahm-Schmidt algoritmo. Gracias al Lema de Zorn, cada espacio vectorial tiene una expresión algebraica (Hamel), por lo que podemos afirmar que incluso un nonseparable espacio de Hilbert tiene una expresión algebraica, pero no podemos construir explícitamente. (en el contexto de los espacios de Banach, este es el caso de $\ell^\infty(\mathbb N)$.)
Consideraciones personales. Separación significa la existencia de una densa contables subconjunto. Por el momento, esto no me suena como una verdadera necesidad física. Es más bien como la consecuencia de más hechos fundamentales. Esto es diferente de la hipótesis de Hausdorff, que es la matemática de la transcripción del hecho de que no podemos borrar completamente los errores experimentales, pero podemos hacerlos más pequeños y más pequeños, al menos en principio.
RichieACC
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Normalmente soy reacio a sólo citar a Wikipedia, pero tiene algunas cosas que decir:
El artículo en espacios separables nos dice que
cada función continua en un separable espacio cuya imagen es un subconjunto de un espacio de Hausdorff es determinada por sus valores contables en el subconjunto denso.
(cf densamente definido por el operador) y que
muchos teoremas que pueden ser probadas para nonseparable espacios constructivos de las pruebas sólo para separar espacios. Tal constructivo de las pruebas puede ser convertido en los algoritmos para su uso en análisis numérico [...]. Un ejemplo famoso de un teorema de este tipo es la de Hahn–Banach teorema.
Por otra parte, el artículo sobre espacios de Hilbert contiene lo siguiente:
Un espacio de Hilbert separable si y sólo si se admite una contables ortonormales.
En el caso de la teoría de campo, se establece:
Incluso en la teoría cuántica de campos, la mayoría de los espacios de Hilbert son, de hecho, separables, según lo estipulado por la Wightman axiomas. Sin embargo, a veces se argumenta que no separables de Hilbert espacios también son importantes en la teoría cuántica de campos, aproximadamente, debido a que los sistemas en la teoría de la posesión de un número infinito de grados de libertad y cualquier infinito de Hilbert producto tensor (de espacios de dimensión mayor que uno) no es separable. Por ejemplo, un bosonic campo puede ser, naturalmente, se le considera como un elemento de un producto tensor cuyos factores representan osciladores armónicos en cada punto del espacio. Desde esta perspectiva, el estado natural de espacio de un bosón de que puede parecer un no-separables en el espacio. Sin embargo, es sólo una pequeña separables subespacio completo de la tensor de producto que puede contener físicamente significativa campos (en la que los objetos se pueden definir).
