Las esferas de diferente dimensión no son equivalentes en homotopía

Question

¿Hay alguna manera de demostrar que $\textbf{S}^n$ y $\textbf{S}^m$ no son equivalentes en homotopía si $n\neq m$ sin utilizar la maquinaria de la homología o los grupos superiores de homotopía?

Answer 1

Puedo demostrar, sin mencionar los grupos, que si las esferas $S^m$ y $S^n$ con $m<n$ fueran equivalentes en homotopía, entonces serían contráctiles, pero no veo inmediatamente una prueba libre de grupos de que las esferas no sean contráctiles.

Supongamos que $f:S^m\to S^n$ y $g:S^n\to S^m$ eran inversas entre sí hasta la homotopía. Por aproximación celular o simplicial, se puede deformar $f$ para que no sea sobreyectiva (como $m<n$ ), y luego se puede deformar a una constante alejándose de un punto que no esté en la imagen de $f$ . Así que $f$ es homotópica a una constante; por tanto, también lo son $f\circ g$ y $g\circ f$ que son homotópicos a los mapas de identidad de las dos esferas. Por lo tanto, estas esferas son contráctiles,

Answer 2

Sólo por diversión, aquí hay una respuesta que no utiliza la maquinaria de la que hablas, a costa de utilizar una maquinaria más loca. Supongamos que tienes una equivalencia de homotopía $S^n \stackrel{\sim}{\to} S^{n+k}$ para $k > 0$ . Al romper esto con $S^{km}$ se obtienen equivalencias de homotopía $S^{n+km} \stackrel{\sim}{\to} S^{n + (k+1)m}$ para cada $k$ . Al componerlos se obtiene una secuencia $$ S^n \stackrel{\sim}{\to} S^{n+k} \stackrel{\sim}{\to} S^{n+2k} \stackrel{\sim}{\to} \dotsb $$ y tomando el colímite se obtiene una equivalencia débil $S^n \stackrel{\sim}{\to} S^\infty$ . Pero $S^\infty$ es contraíble. (Y como con la respuesta de Andreas, entonces tendrías que demostrar que las esferas no son contractibles).

Answer 3

Supongamos que $S^{n} \simeq S^{n+d}$ . Observe que $S^{n}$ es un subespacio de $S^{n+d}$ . Así que existe una retracción de la deformación $H:S^{n+d} \times I \to S^n$ tal que $H((x_1, ..., x_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{n+d+1}),0)=(x_1, ..., x_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{n+d+1})$ y $H((x_1, ..., x_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{n+d+1}),0)=(x_1, ..., x_{n+1}, 0, ..., 0)$ .

Restringir $H$ a $n+1$ y $n+2$ coordinar para conseguir $F$ . Aviso $F$ sigue siendo continua ya que $H$ es. $F$ define una retracción de la deformación de un círculo a un intervalo. $F((x_{n+1}, x_{n+2}),0)=(x_{n+1}, x_{n+2})$ y $F((x_{n+1}, x_{n+2}),1)=(x_{n+1}, 0)$ . Pero esto es una contradicción y por lo tanto $S^{n}$ no puede ser equivalente en homotopía a $S^{n+d}$ como suponíamos. $\blacksquare$