Buscando ayudar a la comprensión de Möbius de la Inversión de la Fórmula

Question

Recientemente se me dijo que el Möbius de la Inversión de la Fórmula puede ser aplicada a la Función de Chebyshev.

Vamos $\vartheta(x)$,$\psi(x)$ ser la primera y la segunda de Chebyshev funciones , de modo que:

$$\vartheta(x) = \sum_{p\le{x}}\log p$$

$$\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\vartheta(\sqrt[n]{x})$$

Entonces la aplicación de la Möbius de la Inversión de la Fórmula, obtenemos:

$$\vartheta(x) = \sum_{k=1}^{\infty}\mu(k)\psi(\sqrt[k]{x}) = \psi(x) - \psi(\sqrt{x}) -\psi(\sqrt[3]{x}) -\psi(\sqrt[5]{x}) + \psi(\sqrt[6]{x}) + \ldots$$

Como yo lo entiendo, Möbius de la Inversión de la Fórmula sólo puede ser aplicado a las funciones de la siguiente forma:

$$g(n) = \sum_{d\,\mid \,n}f(d)$$

Con la inversión de la forma:

$$f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g(n/d)$$

Así que, no me queda claro cómo la inversión de la fórmula se puede aplicar a las funciones de Chebyshev.

Si alguien me podría ayudar a entender por qué la inversión de la fórmula se puede aplicar en esta situación, que realmente va a ayudar.

Gracias,

-Larry

Answer 1

Pasé una embarazosa mucho tiempo pensando en este medio, tratando de hacer de todo-demasiado-listo cosas (como resulta) antes de que este apareció para mí. Pero he aquí cómo funciona esto.

$$ \begin{align} \sum_{k \geq 1} \mu(k) \psi(x^{1/k}) &= \sum_{k \geq 1} \mu(k) \sum_{l \geq 1} \vartheta (x^{1 / kl}) \\ &= \sum_{n \geq 1} \sum_{k \mid n}\mu(k)\vartheta(x^{1/n}) \\ &= \sum_{n \geq 1} \left( \delta_{1,n}\right)\vartheta(x^{1/n}) \\ &= \vartheta(x) \end{align}$$

Esto muestra que siempre tenemos que $$F(x) = \sum_{k \geq 1} G(x^{1/k}) \iff G(x) = \sum_{k \geq 1}\mu(k)F(x^{1/k})$$

o, más generalmente (pero no con una dificultad extra), si $\alpha(n)$ es la aritmética con Dirichlet convolución inversa $\alpha^{-1}(n)$, $$F(x) = \sum_{k \geq 1} \alpha(k)G(x^{1/k}) \iff G(x) = \sum_{k \geq 1}\alpha^{-1}(k)F(x^{1/k})$$

Así que, de hecho tenemos otra forma de Möbius Inversión, confiar en nada que no hayamos visto antes.