Esta pregunta es realmente sólo una curiosidad, pero estoy muy interesado en la respuesta.
Dado un campo $K$, podemos formar el conjunto$^*$ $Br(K)$ consta de clases de equivalencia de finito-dimensional central simple $K$-álgebras que divididos sobre algunos de Galois de la extensión de $K$, modulo "son Morita-equivalente" (espero que me tienen ese derecho, ha sido un tiempo). Este conjunto es en realidad un grupo, de una manera natural: el producto tensor $K$ está bien definido en las clases de equivalencia, y ha de identidad (la clase de equivalencia de a $K$ como un álgebra sobre sí mismo) e inversos (dado por $R\mapsto R^{op}$). En realidad $Br(K)$ resulta ser un segundo cohomology grupo, en un entorno natural y útil, pero yo realmente no tienen una buena comprensión de la que parte.
Mi pregunta principal es, ¿qué grupos son el grupo de Brauer de algún campo? Yo conozco a un par trivial bits de la respuesta a esta: $Br(K)$ es siempre abelian, y de cardinalidad en la mayoría de las $\aleph_0\times\vert K\vert$; y puede ser trivial (por ejemplo, si $K$ es algebraicamente cerrado), o $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ($Br(\mathbb{R})$, por Frobenius Teorema de la división de álgebras de más de $\mathbb{R}$). También recuerdo que $Br(K)$ es de torsión, aunque me parece que no puede encontrar una referencia para que ahora. Hay una conocida lista de propiedades que son necesarias y suficientes para que un grupo se $\cong Br(K)$ algunos $K$?
Ahora, hay muchas variaciones posibles/elaboraciones de esta cuestión, que puede no tener un significado profundo, pero parece interesante. Por ejemplo, dejando el contexto de los campos por un momento, no es un análogo de la noción de grupo de Brauer de los grupos: hay un grupo que es su propio grupo de Brauer? Volviendo al contexto de los campos, dado un campo de $K$, lo que los grupos se $Br(H)$ algunos $K\le H\le \overline{K}$? Mi segunda pregunta es: ¿hay un buen recurso para este tipo de pregunta, que es, para la construcción de Brauer grupos de la especificación? Me imagino la dirección opuesta (la búsqueda de Brauer grupos de campos que ya la atención sobre) es mucho más útil, pero yo personalmente estoy interesado en esta dirección.
$^*$ El tamaño de los problemas no surgen aquí: ya que especificar "finito-dimensional," hay en la mayoría de las $\aleph_0\times\vert K\vert$ muchas de estas álgebras de hasta isomorfismo; el uso de Scott truco, a continuación, nos permite representar estas clases de equivalencia en a la perfección.
