Aproximación con gaussianos trasladados y funciones trigonométricas de baja frecuencia

Question

Definición de los gaussianos traducidos por $f_t(x)=\exp(-(x-t)^2)$ para $t,x\in\Bbb{R}$ demostramos que el tramo lineal de $\{f_t \mid 0 \le t < \epsilon\}$ es denso en $L^2(\Bbb{R})$ para cualquier $\epsilon>0$ . En consecuencia, las funciones trigonométricas de baja frecuencia son densas en $L^2([a,b])$ . La demostración del primer resultado se basa en las funciones de Hermite, y la del segundo en la transformada de Fourier de la primera. ( Enlace Arxiv .)

Dos revisores nos dijeron que estos resultados "deben ser conocidos", pero no proporcionaron referencias.

Dos preguntas:

• ¿Son folclóricos estos resultados?
• ¿Cuál es un buen lugar para buscar resultados similares o relacionados?

Answer 1

Creo que los resultados son "folclóricos" en el sentido de que si no te preocupa en absoluto la estabilidad numérica, utilizar pequeñas traslaciones de la gaussiana para obtener derivadas es lo primero que se te ocurriría hacer. Lo mismo con las funciones trigonométricas con frecuencia $\omega \ll 1$ se puede diferenciar directamente muchas veces con respecto a $\omega$ y luego evaluar en $0$ . Obtienes polinomios, que son densos por el teorema de aproximación de Weierstrass. Usted dice varias veces en el documento que los resultados son sorprendentes, pero en mi opinión los resultados cualitativos no son tan sorprendentes.

Estos resultados son al menos similares a los resultados populares de que ciertos conjuntos de wavelets son bases, y ciertos otros conjuntos abarcan pero son sobrecompletos. No tengo una referencia, sólo recuerdo haber oído hablar de un conjunto de wavelets en $\mathbb{R}$ que proviene de una red general en $\mathbb{C}$ . El hecho de que las ondículas estén o no sobrecompletas depende del determinante de la red. No es el mismo resultado, pero es similar.

También analiza la estabilidad numérica de sus aproximaciones. Esa me parece la contribución más original. Tal vez los árbitros estarían más satisfechos si cambiaras el énfasis del artículo a la cuestión de la estabilidad numérica.

Answer 2

Los teoremas tauberianos de Wiener parecen relevantes para tus resultados (de hecho, esto se ha discutido recientemente en mathoverflow aquí: ¿Existe un teorema tauberiano L^p? ). Uno de estos teoremas afirma que las combinaciones lineales de las traslaciones de una función, f, es densa en L^2(R) si y sólo si la transformada de Fourier de esa función no desaparece en un conjunto de medida positiva. Dado que la transformada de Fourier de la gaussiana es una gaussiana (y no desaparece), esto es muy similar a tu Teorema 1. Por supuesto, el teorema de Wiener sólo te da una aproximación de la forma $ \sum_{n=1}^{N} a_{n} e( (x- t_n)^2)$ para alguna secuencia de números reales $t_{n}$ . Podrías recuperar el resultado aproximando la secuencia $t_{n}$ por una secuencia de los for m $\{nt\}$ (después de ajustar posiblemente los coeficientes a_n), sin embargo esto no es inmediato para mí.

Si estas observaciones le suenan a lo que busca, el libro de Wiener "la integral de Fourier y algunas de sus aplicaciones" es una buena referencia. El libro de Jacob Korevaar "Tauberian Theory: A Century of Developments de Jacob Korevaar tiene un tratamiento mucho más completo (y actual) del tema.

Answer 3

El teorema de aproximación de Wiener dice que

Dada una función $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ el conjunto $\{\sum a_i h(\cdot - x_i): a_i, x_i \in \mathbb{R}\}$ es denso en $L^2(\mathbb{R})$ si y sólo si los ceros de la transformada de Fourier de $h$ tiene medida de Lebesgue nula.

Véase el libro de Wiener "The Fourier Integral and Certain of Its Applications" o "Classical Fourier Transforms" de Chandrasekharan.

Una serie de autores se plantean otras cuestiones cuando los parámetros de traducción se limitan a un conjunto más reducido. Véase este documento por ejemplo, y la referencia que figura en él.