Hay una descripción general de todos los homología de 3 esferas?
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Matthew Read
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Sin duda. Hay una descripción general de todos los compactos de 3 colectores ahora que la geometrización se acerca.
Así, por homología de la 3-esfera tiene la esencia única de conectar suma de descomposición en números primos.
Un primer homología de la 3-esfera tiene la particularidad de empalme de descomposición (Larry Siebenmann de la terminología). El empalme de descomposición es sólo una manera conveniente de la codificación de la JSJ-descomposición. Los toros de la JSJ-descomposición cortar el colector en componentes que son atoroidal, por lo que forma un gráfico correspondiente a estos componentes (como los vértices) y el de tori como de los bordes.
El empalme de descomposición que se puede pensar como árbol donde los vértices son decoradas por pares (M,L) donde M es una homología de la 3-esfera y L es un enlace en M tales que M \ L es un atoroidal colector.
Por la geometrización de que no hay muchos candidatos para los pares (M,L). El seifert-fibred homología de las esferas que se presentan de esta manera son los Brieskorn esferas, en ese caso L será una colección de fibras en el Seifert fibering. O el par (M,L) podría ser un hiperbólico enlace en una homología de la esfera. Eso es una gran clase de colectores de que no hay bastante compacto como una descripción, comparación, digamos, con el Brieskorn esferas.
Jeff
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Una buena nota histórica - Dehn observó que si M y N son el nudo complementa y si pegamento M a N conmutación y de meridianos de longitud, a continuación, el resultado es una homología de la esfera. Por supuesto, este es un caso especial de lo que Ryan estaba diciendo.
Otro buen dato: la de Poincaré de homología de la esfera es el único con el finito grupo fundamental.
John Topley
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Por otro lado, no existe una clasificación de los hiperbólico de homología de 3 esferas, mucho menos hiperbólico enlaces en la homología de 3 esferas, otros que, en términos generales, que todos ellos provienen de hiperbólico grupos.
Por ejemplo, parte de la geometrización establece que si un determinado grupo actúa libremente en $S^3$, entonces es equivalente a una acción por isometrías en una ronda de $S^3$ y es un subgrupo de $\mathrm{SO}(4)$. Antes de la geometrización, Milnor y Lee estableció severas restricciones sobre cómo un grupo finito $G$ puede actuar libremente en cualquier homología de la 3-esfera, con el caso de $S^3$, especialmente en la mente. Cualquiera de las $G$ es esférica grupo, o es una otra familia que no ha sido excluido. Por lo que sabemos, si $G$ actúa libremente en cualquier homología de la 3-esfera, entonces actúa en $S^3$. Creo que este es todavía un problema abierto, y la geometrización de por sí no es que se asiente.
El trabajo de descripción de homología de 3 esferas para muchos propósitos, en particular cuántica invariantes topológicos, es bastante diferente. En la práctica, una homología de la 3-esfera es a menudo determinado por la cirugía en un enlace en $S^3$ (o en alguna otra de homología de la 3-esfera) cuya matriz tiene determinante 1. El gran inconveniente es que la descripción está lejos de ser único.
Ian Agol
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Otra manera de representar la homología de las esferas es tomar un Heegaard la división de para $S^3$, cortar y póngales pegamento nuevo por un elemento de la Torelli grupo. Este es no canónica, pero cualquiera de los dos Heegaard escisiones son equivalentes después de algunos número de stabilizations. Si quisiera enumerar a cada homología esfera, usted podría hacer una lista de los elementos de la Torelli grupo, y la construcción de las 3-variedades, a continuación, tirar repite mediante el uso de una solución para la homeomorphism problema de 3-variedades. Esto no es realmente posible llevar a cabo en la práctica, pero es una manera de dar una "descripción general" de la homología de las esferas, al menos en teoría, por dar un recursiva enumeración de ellos.
