Tangente paquete de un cociente por una acción apropiada

Question

Dado un grupo compacto $G$ a actuar libremente en un colector $X$, hay una "buena" manera de describir la tangente paquete del cociente $X/G$ (cuando es un colector)?

En el caso de que el grupo $G$ es finito, o más generalmente, cuando su acción es propiamente discontinua, la proyección de $p : X \to X/G$ es un local diffeomorphism, y por lo tanto el espacio de la tangente $T_xX$ es isomorfo a $T_{p(x)}(X/G)$ través $d_xp$. De hecho, puedo demostrar que $T(X/G) \simeq (TX)/G$, para una adecuada acción de $G$$TX$.

Mi pregunta aquí es motivado tratando de entender el espacio de la tangente de $\mathbb CP^n$. Esto puede ser visto como $S^{2n+1}/U(1)$, pero aquí, la acción de $U(1)$ no es propiamente discontinua, y todo lo descompone. $U(1)$ actúa en $TS^{2n+1} \simeq \{ (x,v) : x,v \in \mathbb{C}^{n+1} \|x\| = 1, x \bot v \}$ (ortogonalidad es para el real producto interior en $\mathbb{R}^{2n+2} = \mathbb C^{n+1}$) por la multiplicación de ambos factores. El cociente es de hecho un vector paquete en la $\mathbb CP^n$, pero no es la tangente del paquete: no tiene la dimensión correcta.

Más específicamente, estoy tratando de demostrar que para un complejo de la línea de $D \subset \mathbb C^{n+1}$, el espacio de la tangente de $\mathbb CP^n$ $D$ es isomorfo a $\mathrm{Hom}(D, D^\bot)$. Este es "probado" en "La Topología de los Haces de Fibras: Notas de la Conferencia" por Ralph L. Cohen (que se encuentra en línea) en la sección 2.2, pero el autor simplemente dice que el resultado es "demostrado en el mismo camino", como en el caso real; pero en el caso real, $\{\pm 1\}$ actúa correctamente de forma discontinua en la esfera, y la proyección es un local diffeomorphism. Esto no es cierto en el caso complejo.

Answer 1

Creo que la mejor respuesta para tu pregunta general viene de la observación de que $\pi:X\to X/G$ es un surjective de la inmersión. Por lo tanto para cada una de las $x\in X$, se puede identificar el espacio de la tangente $T_{\pi(x)}X/G$ con el cociente de $T_xX$ por el espacio de la tangente de la órbita a través de $x$. El último es el subespacio de $T_xX$ generado por los fundamentales de los campos vectoriales para la acción asociada a los elementos de la Mentira álgebra $\mathfrak g$$G$. Aquí para $A\in\mathfrak g$, la fundamental vecor campo se define por $\zeta_A(x)=\frac{d}{dt}|_{t=0}x\cdot exp(tA)$. Para $\mathbb CP^n$ realiza como un cociente de $S^{2n+1}$, esto le da a usted y a la identificación del espacio de la tangente a la línea del complejo atravesado por $x$ como el cociente de $x^\perp$ (real orthocomplement) por el imaginario de los múltiplos de $x$. Este es el espacio correcto, pero no es la identificación que te gustaría conseguir.

Para obtener una identificación como la que usted quiere, usted probablemente tiene que darse cuenta de $\mathbb CP^n$ como un espacio homogéneo (ya que esto le permite comparar tangente espacios en diferentes puntos hasta cierto punto). La mayoría de los generales versión de esto es ver como un espacio homogéneo de $GL(n,\mathbb C)$. A continuación, para cada línea de $D\subset\Bbb C^{n+1}$, el mapa de $A\mapsto A(D)$ define un surjective la inmersión de $GL(n,\Bbb C)$ a $\mathbb CP^n$. Por lo tanto, usted consigue una identificación de $T_D\mathbb CP^n$ con el cociente del espacio de la tangente de $GL(n,\mathbb C)$ (que es el espacio de la compleja $n\times n$-matrices) por la Mentira de álgebra de la estabilizador de $D$, el cual es formado por todas las matrices de asignación de $D$ a sí mismo. Este cociente puede ser identificado con el espacio de lineal mapas de$D$$\mathbb C^{n+1}/D$, y este es el de identificación que usted desea. (Si usted prefiere suponen un complejo orthocomplement, puede configurar una imagen similar con $U(n)$ o $SU(n)$ que actúa sobre el espacio de líneas).