Si tengo una potencia de serie $\displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} {a_iz^i} \in\mathbb{C}[[z]]$ con radio de convergencia $r>0$, y sé que la serie $\displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} {a_iz^i}$ converge para todos los $|z|=r$, se puede concluir a través del teorema de Abel (que me da la convergencia uniforme en cada segmento de unirse a un punto en el círculo $|z|=r$ y el origen) que $\displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} {a_iz^i}$ converge uniformemente sobre el subconjunto de $\mathbb{C}$ $|z|\le r$?
Respuesta
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No.
Existe un poder de la serie que converge pointwise en el círculo unidad, pero es discontinua en el círculo unidad. Si usted tuvo convergencia uniforme en la cerrada de la unidad de disco, que sería, en particular, tienen continuidad en el círculo.
Hay un ejemplo construido por Sierpinski. Usted puede ver aquí, pág.282, si usted puede leer las matemáticas en francés. Lo siento, no tenemos una referencia del idioma inglés. También tenga en cuenta que he aprendido de Julien Melleray la respuesta en MO.
