Deje $\alpha \in \mathbb R $. ¿Cómo podría yo demostrar que no hay ninguna positiva y continua en función de $f$ tales que las siguientes condiciones?
- $\int_{0}^1 f(x)dx=1$
- $\int_{0}^1 xf(x)dx=\alpha $
- $\int_{0}^1 x^2f(x)dx=\alpha ^2$
Respuestas
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gt6989b la respuesta es una gran respuesta, pero es probable que el OP no se utiliza el lenguaje de la probabilidad. Aquí está la misma prueba, pero escrito en el lenguaje del cálculo en su lugar.
Si nos toca pensar en mirar a $\int_0^1 (x-\alpha)^2f(x)\,dx$, vemos que \begin{align*} \int_0^1 (x-\alpha)^2f(x)\,dx &= \int_0^1 (x^2-2\alpha x+\alpha^2)f(x)\,dx \\ &= \int_0^1 x^2 f(x)\,dx - 2\alpha \int_0^1 x f(x)\,dx + \alpha^2 \int_0^1 f(x)\,dx \\ &= \alpha^2-2\alpha(\alpha)+\alpha^2(1) = 0. \end{align*} Pero la función de $(x-\alpha)^2f(x)$ es no negativa. La única manera de que la integral de una función no negativa en un intervalo igual a $0$ es si la función es idéntica $0$. Pero esto implica que $f(x)=0$ en todas partes (excepto posiblemente en a $x=\alpha$), lo que hace que $\int_0^1 f(x)\,dx = 1$ imposible.
rretzbach
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El primer criterio implica $f$ es un pdf para $$\alpha = \mathbb{E}X \quad \text{and} \quad \alpha^2 = \mathbb{E}[X^2]$$ so existence of such $f$ implies there exists and random variable such that $$\mathbb{E}[X^2] = \mathbb{E}[X]^2,$$ which implies $X$ has 0-variance, so $X$ es constante, igual en todas partes a su valor esperado.
Pero que hace que $f(x) = 0$ todas partes, excepto $f(\alpha) = 1$ (y la integración, no de Riemann, pero, por ejemplo, de Riemann-Stieltjes), pero, a continuación, $f$ no es continua.
larryb82
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158
Considerar el espacio de Hilbert $L^2([0,1],\mathbb{R})$ con el estándar de producto interior $\langle f,g \rangle = \int^1_0 f(x) g(x) dx. $ Suponga un $f$ existe, por lo que el $g=\sqrt{f}$ también es positiva y continua. A continuación, las condiciones de lectura como:
- $\| g\|=1$
- $\langle xg,g \rangle= \alpha$
- $\| xg \|=\alpha$
Así tenemos que el $\langle xg,g \rangle = \| xg\| \| g\|,$ que es la igualdad caso de la de Cauchy-Schwarz desigualdad. Por lo tanto, no existe un $\beta\in\mathbb{R}$ tal que $xg=\beta g$ en casi todas partes, que sólo puede ser verdad si $g=0$ en casi todas partes - pero esto se contradice con la primera condición. Por lo tanto, no $f$ existe.
