Algunos intuitiva visión en álgebra abstracta

Question

Actualmente estoy en mi segundo año de Matemáticas y primera estoy aprendiendo álgebra abstracta. Hasta ahora está siendo el tema más interesante que he visto, pero tengo un problema con algunos intuitiva visiones acerca de lo que algunos maestros (de la experiencia supongo) con este.

En particular, oí decir a uno de ellos era trivial que, en virtud de isomorphisms:

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \subset A_4$

Que el significado de un subgrupo de $A_4$ es isomorfo al lado izquierdo de la expresión. No veo que el trivial en absoluto hasta que hacer algún estudio en $A_4$ (por cierto, es la alternancia de un grupo de orden 12), y te encuentras con que hay elementos de orden 2 x,y, lo que es cierto es que $xy=yx$, se puede deducir el siguiente es un subgrupo de $A_4$: $H=\{1,x,y,xy\}$. Una vez que el yo llegar aquí, el isomorfismo entre el $H$ $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ puede parecer trivial, pero no entiendo cómo, a partir de sólo una alternancia de grupo, se puede deducir que con solo mirarlo.

Es allí cualquier intuitiva visión en grupos, ya sea en general o en este caso particular, de que me estoy perdiendo y me podría ayudar a "ver" estas cosas?

También, te recomiendo algún libro que hace un esfuerzo especial de explicar, no el formalismo, que se puede encontrar en cualquier libro, pero esta vista más intuitiva?

Gracias, de antemano.

EDIT: Ok, así que mi primera pregunta ha sido respondida, gracias a todos los chicos. Ahora, mi segunda, sobre el libro, si alguien sabe de un libro que es "famoso" para empezar un gran grupo de teoría (teoría de grupo de primaria), o que se aborda el tema en un nivel intuitivo (no voy a dar el tratamiento formal), te agradecería un nombre o de un autor.

EDIT2: @jspecter Esto fue muy útil, gracias. Un par de preguntas, no entiendo el grupo $Stab_\Sigma(P)$: yo no soy inglés, un no sé el significado de "tabalizes", puede tratarse de un error tipográfico... La segunda, creo que estoy teniendo algunos problemas para pensar acerca de la $\mathbb{Z}/m\times ... \times \mathbb{Z}/r$, estoy viendo como conjuntos ordenados de enteros como de los factores que ha $(x_1,x_2,...,x_n)$, (no sé la palabra que en inglés, lo que ellos llaman n-tuplas (español)). Tal vez mi dificultades con ver el isomorfismo entre estos grupos y la simetría de los grupos de $A_n$. Con este ejemplo en particular, si tomamos su subconjunto $P$, la cual se puede ver como un triángulo en un plano, y vamos a crear el grupo de simetrías de esta figura tenemos la identidad y 3 reflexiones sobre la mediadora de cada vértice, esto es lo que nos identificamos con $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$. Obviamente podemos identificar dos reflexiones con (1,0) y (0,1), y la otra es una combinación de los otros dos, además de que es abelian (al igual que cualquiera de los cuatro grupo de elementos), es que la manera en que lo están viendo? Creo que tengo dificultades para la identificación de estos miembros (i,j) con las funciones, en este caso isometrías para que el triángulo, algún consejo para esto?

En general, usted ha ayudado mucho y estoy empezando a ver todo más claro. Gracias de nuevo.

Aún así, si alguien recomienda un libro, yo estaría agradecido.

Answer 1

Is there any intuitive vision on groups,
either general or in this particular case,
that I'm missing and could help me "see" these things?

Grupos de medida de la simetría. Podemos entender a los grupos por sus grupos de acciones, que son simetrías de un conjunto (por lo general con una estructura adicional).

Informalmente hablando, el conjunto de todos los invertible mapas de algún objeto matemático a sí mismo que preservar algunos bienes se forma un grupo. De hecho, cada grupo puede ser expresado de esta manera (a través de un lugar formal en busca de la definición mediante la categoría de la teoría). En otras palabras, cada grupo es el automorphism grupo de algún objeto matemático.

Esta descripción de los grupos puede no ser evidente para todos los grupos que hemos visto hasta ahora, pero ¿cómo grupos simétricos se ajustan a esta explicación? Diedro grupos? Matriz de grupos? Lo que establece son las simetrías? ¿Qué tipo de estructura qué necesitamos estas simetrías para preservar?

Answer 2

En este caso particular, se podría argumentar que como este para evitar cálculos. Por Sylow del teorema $A_4$ tiene un subgrupo de orden $4$. No puede ser cíclico, porque no hay ningún elemento de orden $4$$A_4$. El único no cíclicos grupo de orden $4$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, por lo que la instrucción de la siguiente manera.

Answer 3

Una manera de pensar acerca de los grupos (o más bien la única manera) es que las simetrías de otros objetos. Así que si quieres " ver " los hechos acerca de un grupo es una manera de presentarlo como las simetrías de algo geométricas.

Ahora necesitamos algo fácilmente comprobable (pero tal vez no-intuitivo) entrada de un objeto geométrico con $A_4$ - simetría. Uno (matemáticamente precisos) ejemplo es el tetraedro regular $T \subset \mathbb{R}_3$ junto con el subgrupo $\Sigma$ de la distancia y la orientación de la preservación de los mapas de $\mathbb{R}^3$ $\mathbb{R}^3$que envían $T$ $T.$Pero usted debe pensar en esto como su favorito cuatro colindado mueren junto con todas las maneras en las que podría recogerlo y ponerlo sobre una mesa de modo que si se borran los números que no tienen ninguna prueba que lo movió en absoluto. Oh, aquí ahora:

Cómo podría uno ver el grupo de simetría de este objeto es $A_4?$ Bien, ninguna simetría de $T$ debe enviar vértices vértices. El pensamiento de las simetrías $\Sigma$ como las simetrías del conjunto de vértices obtenemos un mapa (homomorphism) de $\Sigma$ $S_4.$Y porque cualquier simetría que soluciona todos estos vértices debe ser la identidad de este debe ser un mapa de la incrustación. Comprobación $|\Sigma| = 12,$ es de la siguiente manera $\Sigma \cong A_4.$

Ahora bien, si uno quiere cortar un subgrupo de un grupo de simetría de un objeto $O$ una manera de hacerlo es buscar en todas las simetrías de la preservación de algunos de subobjeto $O'.$

Considere la posibilidad de que el par de aristas que consiste en el borde de la $l_1$ (en el frente) donde se pueden ver las dos caras adyacentes y el borde de la $l_2$ (en la espalda) que es oscurecida por la colocación de morir. Indicar el subobjeto de $T$ consiste en el par de líneas marcadas $l_1$ $l_2$ $P.$

Olvidando que $P$ es un objeto de $T,$ el conjunto $P$ tiene un grupo de la distancia y la orientación de la preservación de las simetrías en su propio derecho. Denotaremos a este grupo por $\Sigma_P.$ $\Sigma_P$ se compone de todos los distence y la orientación de la preservación de los mapas de $R^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ que tome $l_1$ $l_1$ $l_2$ % # % Es fácil ver que $l_2.$

También existe el subgrupo de $\Sigma_P \cong \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2.$ que estabiliza $\Sigma$ denotaremos a este subgrupo $P.$ Ya que cada elemento de a $Stab_{\Sigma}(P).$ restringe a una distancia y de la orientación de la preservación de obtener un mapa de restricción

$Stab_{\Sigma}(P)$$

Ahora observa dos cosas. Cualquier simetría de $$Stab_{\Sigma}(P) \rightarrow \Sigma_P$ levanta a una simetría de $P$ Ninguna simetría en $T$ que corrige $\Sigma$ pointwise es la identidad (que corrige los vértices de T). De la anterior obtenemos el mapa de arriba es surjective y por último, que el mapa es inyectiva. Y así

$P$$

Este argumento es de largo aliento. Esta parece ser la forma es cuando se puede describir algo geométricas.

Una imagen de los costos de 1000 palabras.