Utilizando la integración por partes se obtiene 0 = 1

Question

Me he encontrado con una situación extraña al tratar de aplicar la integración por partes, y parece que no puedo encontrar una explicación. Parto de la siguiente ecuación:

$$\int \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx$$

Lo dejé:

$$u = \frac{1}{f} \text{ and } dv = \frac{df}{dx} dx$$

Entonces lo encuentro:

$$du = -\frac{1}{f^2} \frac{df}{dx} dx \text{ and } v = f$$

A continuación, puedo sustituirlo por la fórmula habitual del PNI:

$$\int udv = uv - \int v du$$

$$\int \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx = \frac{1}{f} f - \int f \left(-\frac{1}{f^2} \frac{df}{dx}\right) dx$$

$$\int \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx = 1 + \int \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx$$

Entonces restando la integral de ambos lados, ahora he demostrado que:

$$0 = 1$$

Obviamente debe haber un problema en mi derivación aquí... ¿Qué suposición errónea he hecho, o qué error he cometido? Estoy desconcertado.

Answer 1

Una pista: Constante de integración.

Answer 2

Ha deducido correctamente que $0 = 1$ ... constantes modulares .

Las antiderivadas sólo están bien definidas modulando constantes*; por ejemplo, tanto $x$ y $x+1$ son antiderivadas (con respecto a $x$ ) de $1$ . La ecuación que has escrito lleva implícita la intención de ser una ecuación módulo de constantes; es decir, los dos lados de la ecuación no tienen que ser iguales: se permite que difieran en una constante.

Tradicionalmente, esto se resuelve añadiendo una "constante de integración" de forma ad-hoc en lugar de intentar introducir la aritmética modular. Esta solución ad-hoc puede ser difícil de conseguir en un cálculo algebraico no trivial si no se entiende completamente lo que está pasando, como muestra su cálculo.

Al anular las dos copias de $\int\frac{1}{f} \frac{df}{dx} \, dx$ Pero eso no elimina el hecho de que la ecuación sigue siendo válida sólo para las constantes modulares: simplemente has eliminado tu pista mental (la presencia de una antiderivada) para recordarte ese hecho.

*: Técnicamente, debería decir "funciones localmente constantes en la variable de integración" en lugar de "constantes"

Answer 3

Esta línea $$\int \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx = \frac{1}{f} f - \int f \left(-\frac{1}{f^2} \frac{df}{dx}\right) dx$$ debe ser $$\int_a^b \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx = \left[\frac{1}{f} f\right]_a^b - \int_a^b f \left(-\frac{1}{f^2} \frac{df}{dx}\right) dx$$ así que $$\int_a^b \frac{1}{f} \frac{df}{dx} dx = \left[1\right]_a^b - \int_a^b f \left(-\frac{1}{f^2} \frac{df}{dx}\right) dx$$ y $\left[1\right]_a^b=0$

Answer 4

Como ejercicio, mira esta prueba de $0=1$

Diferenciar ambos lados $wrt $ $x$

$0=0$

Lo cual es cierto, y por lo tanto está demostrado.

Si usted puede encontrar el error aquí, por lo que puede en su pregunta anterior.

Answer 5

El problema aquí es que al aplicar el Por la fórmula de las piezas $$uv-\int \frac{du}{dx}vdv $$

que tomaste $u=\frac 1f$ y $dv=\frac {df}{dx}dx$ Ahora, cuando se utiliza la fórmula por partes, la primera tarea es obtener $v$ y para ello es necesario hacer lo siguiente $\int dv$ ¿cierto? Has hecho todo bien, pero el problema viene cuando escribes $\int df =f$ Aquí también tienes que añadir la constante C, o tu prueba se estropeará bastante. Al final donde tienes $0=1$ , te falta eso $C$ en esta ecuación de aquí, cuando haces antiderivadas no puedes dar una sola respuesta.Si escribes $\int df=f$ sólo que entonces sólo se obtiene una de las infinitas soluciones porque $\frac {d}{df}(f)=1$ pero $\frac {d}{df}(f+2)$ también es 1, de hecho toma la derivada de $f+c$ (con respecto a f) donde $C$ es cualquier constante, siempre terminará con 1.Así que supongo que ese es el error.La próxima vez ten cuidado con las constantes.

Espero que haya respondido a su pregunta.