Promedio de cuaterniones

Question

Dados múltiples cuaterniones que representan orientaciones, y quiero promediarlos. Cada uno tiene un peso diferente, y todos suman uno.

¿Cómo puedo obtener la media de ellos? La simple multiplicación por pesos y suma no funcionará, ya que no tiene en cuenta que (qw, qx, qy, qz) = (-qw, -qx, -qy, -qz)..

Answer 1

Promedio de pares de cuaterniones

Si está intentando promediar sólo dos cuaterniones, puede utilizar la interpolación de cuaterniones ( slerp ) con un factor de interpolación de 0,5 para encontrar el "punto medio rotacional" entre los dos cuaterniones.

(Nótese que la Ec. 19 del trabajo de Markley et al. citado más abajo también da una solución directa / de forma cerrada para la media de dos cuaterniones. Esto puede o no dar el mismo resultado que slerp con un factor de interpolación de 0,5, no lo he mirado de cerca).

Promedio de más de dos cuaterniones

Existen al menos dos métodos para promediar más de dos cuaterniones.

1. Promedio directo (rápido/aproximado)

Si los cuaterniones representan rotaciones similares, y los cuaterniones están normalizados, y se ha aplicado una corrección para el "problema de la doble cobertura", entonces se pueden promediar directamente los cuaterniones y luego normalizar de nuevo el resultado, tratándolos como vectores de 4 dimensiones, para producir un cuaternión que represente una rotación aproximadamente media.

El problema de la doble cobertura es cuando $q$ y $-q \,$ representan la misma rotación, como señalaba el cartel original. Este problema puede resolverse negando algún subconjunto de los cuaterniones para garantizar que el producto punto de cualquier par de cuaterniones es positivo (o, por ejemplo, negativo).

Tenga en cuenta que cuanto más disímiles sean los cuaterniones involucrados, más inexacto será este método, ya que esto es sólo una aproximación al método de eigendecomposition -- por lo que sólo desea promediar juntos cuaterniones que ya son bastante similares en términos de las rotaciones que representan.

He medido este método 2,56 veces más rápido que el de eigendecomposición.

(La sintaxis utilizada corresponde a la biblioteca Java JOML)

public static Quaterniond averageApprox(Quaterniond[] quats, double[] weights) {
    if (weights != null && quats.length != weights.length) {
        throw new IllegalArgumentException("Args are of different length");
    }
    Quaterniond qAvg = new Quaterniond(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);
    for (int i = 0; i < quats.length; i++) {
        Quaterniond q = quats[i];
        double weight = weights == null ? 1.0 : weights[i];

        // Correct for double cover, by ensuring that dot product
        // of quats[i] and quats[0] is positive
        if (i > 0 && quats[i].dot(quats[0]) < 0.0) {
            weight = -weight;
        }

        qAvg.add(weight * q.x, weight * q.y, weight * q.z, weight * q.w);
    }
    return qAvg.normalize();
}

2. Eigendecomposición de la suma de productos exteriores (método de máxima verosimilitud)

Este método se basa en Markley y otros, Averaging Quaternions, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 30(4):1193-1196, junio de 2007 ecuaciones (12) y (13). Los autores demostraron que la solución es única y que corresponde a un criterio de máxima verosimilitud. ( aplicación de tbirdal de este mismo algoritmo, además de algunas variantes más potentes, se enlazaron desde un par de respuestas más).

(La sintaxis utilizada corresponde a la biblioteca Java JOML y a la biblioteca Apache Commons Math Linear Algebra)

public static Quaterniond average(Quaterniond[] quats, double[] weights) {
    if (weights != null && quats.length != weights.length) {
        throw new IllegalArgumentException("Args are of different length");
    }
    RealMatrix accum = MatrixUtils.createRealMatrix(4, 4);
    for (int i = 0; i < quats.length; i++) {
        Quaterniond q = quats[i];
        double weight = weights == null ? 1.0 : weights[i];
        RealVector qVec = MatrixUtils.createRealVector(
                new double[] { q.x, q.y, q.z, q.w });
        RealMatrix qOuterProdWeighted = qVec.outerProduct(qVec)
                .scalarMultiply(weight);
        accum = accum.add(qOuterProdWeighted);
    }
    EigenDecomposition eigDecomp = new EigenDecomposition(accum);
    double[] ev0 = eigDecomp.getEigenvector(0).toArray();
    return new Quaterniond(ev0[0], ev0[1], ev0[2], ev0[3]).normalize();
}

Answer 2

Supongo que estás pensando en cuaterniones unitarios y que los utilizas para representar rotaciones. Si es así, aquí tiene un papel sobre el tema relacionado de las medias y promedios en el grupo de rotación. Aunque puede que no sea una lectura muy fácil si no entiendes la notación.

Salvo eso, esto es lo que podría intentar: Elige una forma canónica para tus cuaterniones. A continuación, convertir cada uno a la forma canónica y, finalmente, realizar su combinación lineal ponderada.

Answer 3

Hay un informe técnico de 2001 que afirma que la media es en realidad una aproximación bastante buena, siempre que los cuaterniones estén próximos entre sí. (para el caso de -q=q, podrías simplemente voltear los que apuntan en la otra dirección pre multiplicándolos por -1, para que todos los cuaterniones involucrados vivan en la misma media esfera.

En este documento de 2007 que implica el uso de un SVD.

Answer 4

Esta respuesta de Gouda da el funcionamiento del Implementación en Matlab de Tolga Birdal, que está bien comentada.

Answer 5

Ahora proporciono la media estándar y ponderada, así como $L_p$ mediana de cuaterniones en: http://tbirdal.blogspot.com/