la inversión de un cono a un toro

Question

Estoy buscando en "Una Paradoja Geométrica" de B. H. Brown, en el número de Mayo-junio de 1923 problema de La American Mathematical Monthly, páginas 193--195. Creo que la gente estudiado avanzada de la geometría Euclidiana mucho más entonces que ahora. El autor escribe como si para un público familiarizado con dicho material, y no creo que te gustaría hacer que en el Mensual de ahora.

Brown nos recuerda que "un avión bitangent a un toro de la corta en dos círculos" (ver Villarceau círculos). Que mucho de lo que yo sabía. Él escribe:

empezar a cotizar

1. Un cono de revolución puede ser invertida en un toro,
2. Las líneas de curvatura en un cono de revolución son las reglas paralelas y círculos;
3. Las líneas de curvatura de un toro son los meridianos y paralelos círculos;
4. La inversión lleva a las líneas de curvatura en las líneas de curvatura;
5. La inversión lleva a círculos dentro de círculos y líneas rectas ser considerado círculos);
6. La inversión conserva los ángulos (salvo signo).

Si luego nos invertir un cono en un toro, donde podemos encontrar cualquier círculos en el cono para invertir en el Villarceau círculos?

fin de la cita

Así que aquí tenemos una aparente paradoja!

Los artículos 1 y 4 eran desconocidos para mí, y me encuentro con 1 un poco inverosímil. He intentado, sin éxito, aunque no muy fuerte, para visualizarla. Me preguntaba donde el centro de la inversión debe ser.

A continuación, Marrón da algunos detalles:

empezar a cotizar

La inversión con el centro $(0,0,i)$ y el poder $-2$, cuyas ecuaciones son $$ \begin{array}{l} \bar x = \dfrac{-2x}{x^2+y^2+(z-i)^2}, \qquad \bar y=\dfrac{-2y}{x^2+y^2+(z-i)^2} \\[6pt] \bar z = i+\dfrac{-2(z-i)}{x^2+y^2+(z-i)^2} = \dfrac{i(x^2+y^2+z^2+1)}{x^2+y^2+(z-i)^2} \end{array}\etiqueta{1} $$ llevará el (imaginario) de cono $$ \bar x^2 + \bar y^2 + \frac12\barra z^2 =0\etiqueta{2} $$ en el real de toro $$ (x^2+y^2+z^2+1)^1 = 8(x^2+y^2).\la etiqueta{3} $$

fin de la cita

No esperaba que los números complejos para entrar en este modo, y sin un poco de contexto, me gustaría haber adivinado que el colector que él llama un cono imaginario sería un $2$-dimensiones del colector de más de $\mathbb C$ si $\bar x,\bar y,\bar z$ son permitidas en $\mathbb C$. Pero el contexto sugiere lo contrario. Como casi puedo ADIVINAR, debemos tener $\bar z$ ser real y $\bar x,\bar y$ puro de imaginarios, de manera que el círculo negativo de la radio de $-\bar z/\sqrt{2}$ $1$- dimensiones del colector de más de $\mathbb R$$\mathbb C$, y por lo tanto topológicamente lo que normalmente llamamos un círculo.

1. ¿SUPONGO que sentido?

2. Es esta forma de hacer inversive geometría en $\mathbb R^3$ mediante el uso de polinomios en $\mathbb C[\bar x,\bar y,\bar z]$, en algún sentido, una cosa estándar? (Brown parece a tratar como un estándar, por lo que supongo que las personas se familiaricen con lo que pasó en la geometría en aquellos días, se puede pensar en ello como algo estándar.)

Nota añadida en la tarde del 8 de octubre: El tipo de geometría métrica he visto en $\mathbb C^n$ implica un producto interior, que es lineal en una variable y conjugado-lineal en la otra, de modo que $\mathbb C^n$ se convierte en isométrico a $\mathbb R^{2n}$. Más adelante en este documento que la parte que he citado, Brown escribe:

[ . . . ] los inversos de un sistema de Villarceau círculos se dan como la intersección de un cono y los planos$$ x+iy=c;\qquad c\ne0,\etiqueta{7} $$ y del otro sistema por el cono y los planos $$ x-iy=c;\qquad c\ne0,\etiqueta{8} $$

Esto hace que se vea como si estos se supone que el círculo en el "cono" $x^2+y^2+\frac12z^2=0$$\mathbb C^3$. Por eso me pregunto si Brown la intención de estos "círculos" a $2$-colectores? ¿Y cómo hace uno pensar acerca de la geometría métrica, incluyendo cosas como la curvatura y ángulos, en un escenario? Y es sólo en ese tipo de establecimiento de que un cono de revolución puede ser invertida en un toro?

Answer 1

La notación parece un poco arcano. Brown discusión se llevaría a cabo en Hiperbólico 3-espacio $\mathbb{H}^3$ estos días. Las imágenes del toro de Villarceau círculos son parábolas hacen cortando el cono a lo largo de un plano vertical. Las imágenes de Villarceau círculos son hermosas y las más bellas imágenes a lo largo del camino :-)

Recursos

• La geometría y los Grupos del curso de @ Cambridge.
• Ortho-Círculos de Dupin Cyclides - artículo de gráficos por ordenador de diario con imágenes sugerentes. Las referencias a Villarceau
• Diferentes imágenes de los conos y de los poliedros - para ayudar a la visualización
• Círculos exteriores: Una Introducción a la Hiperbólica de las 3-variedades - nuevo texto clásico Marden

La Vieja Escuela De La Notación

Tuve que aclarar algunas cosas antes de que yo pudiera entender lo que Brown estaba diciendo o te piden. Esta respuesta todavía puede tener un error o dos.

• Hiperbólico 3-espacio está pensado como $\{ (x + iy, z):x,y,z \in \mathbb{R}, z > 0 \} \in \mathbb{C} \times \mathbb{R}^+$ Villarceau del teorema dice que usted puede invertir el cono $x^2 + y^2 - z^2 = 0$ a lo largo de un punto de $(0,0,1)$ y obtiene un toro. En notación moderna, la inversión mapa debe ser $$ (x,y,z) \mapsto (0,0,1) + \frac{(x,y,z)-(0,0,1)}{||(x,y,z)-(0,0,1)||^2}$$ Brown papel parece extrapolar puramente imaginaria vertical coordinar $\{ (x + iy, z):x,y \in \mathbb{R}, z \in i\mathbb{R},z > 0 \} \in \mathbb{C} \times \mathbb{R}^+$ e invertir en $(0,0,i)$. El "cono" sería $x^2+y^2+z^2=0$ y la inversión mapa $$ (x,y,z) \mapsto (0,0,i) + \frac{(x,y,z)-(0,0,i)}{||(x,y,z)-(0,0,i)||^2}$$ Esto equivale a cambio de la firma de la hiperbólico el espacio anti-de Sitter espacio.
  $$ (x,y,z) \mapsto (0,0,1) + \frac{(x,y,z)-(0,0,1)}{||(x,y,z)-(0,0,1)||^2_{\text{AdS}}}$$ El null-cono es$||(x,y,z)||_{\text{AdS}} = x^2+y^2-z^2=0$$z \in \mathbb{R}$.

• Esta pregunta tiene que ver con determinadas estructuras de Riemann en el cono y el toro. "Las líneas de curvatura" se refiere a la geometría de las superficies que son los vectores propios de la curvatura de Gauss.

• Las líneas de curvatura son exactamente las que uno podría pensar:

  • Para el torus son el ecuatorial y el meridiano rodajas
  • Para el cono, usted puede deslizar a lo largo de un plano vertical a través del eje de simetría y conseguir que las "normas" o a lo largo de un plano horizontal y obtener círculos.
• En estos días los resultados de la 5 y la 6 son propiedades estándar en la conformación de la geometría

Villarceau círculos & Hopf Fibration

El Hopf fibration es un mapa de $(w_1,w_2)\mapsto w_1/w_2 $ a partir de la 3-esfera $S^3 = \{ |w_1|^2+|w_2|^2=1\} $$S^2 = \hat{\mathbb{C}}$. Podemos conseguir un toro por $$ \{ |w_1|^2+|w_2|^2=1\} \cap \{ |w_1|=|w_2|=R\}$$ donde el toro es paramterized por $\theta_1 = \arg w_1 , \theta_2 = \arg w_2$. El Villarceau círculos están parametrizados por $( e^{it} w_1, e^{it} w_2)$$( e^{it} w_1, e^{-it} w_2), \hspace{0.1in} t \in [0, 2\pi]$.

De la inversión sobre el punto imaginario

Así que en 3D en el espacio Euclidiano, en la que puede invertir el cono a través de una pequeña esfera centrada en $(0,0,1)$. Las reglas del cono será asignada a meridian círculos del toro y la horizontal círculos también se asigna a guinea ecuatorial círculos.

Si usted invertir el cono $x^2-z^2=0$ sobre el punto de $(0,1)$ usted obtiene 2 círculos en intersección y nos giran en torno a conseguir una inmerso toro... de color Marrón invierte alrededor de $(0,i)$ para obtener 2 distintos círculos. Giran en torno a la $z$ eje y tenemos un toro.

Parabólico Círculos

En términos de "homología", Villiarceau = Meridean + Ecuatorial, por lo que la imagen en el cono debe ser una línea que va desde la punta del cono de salida hasta el infinito y sinuoso alrededor de un eje vertical una vez.

Hacia el final de Brown del artículo, explica que la imagen de la Villarceau círculos (Euclidiana) parábolas definido por la intersección de un cono y un plano vertical $$ \{ x^2 + y^2 - z^2 \} \cap \{ x \pm i y = c \}$$ Si nos deslizamos el cono horizontal, es claro que obtener círculos. ¿Por qué debemos considerar también estos vertical diapositivas como círculos? Parece que mientras que la inversión de los intercambiadores de planos y esferas, punto 5 puede ser contradicho por las curvas.

Si tengo tiempo, voy a tratar de agregar algunas imágenes y el explícito de la inversión de cálculo.

Answer 2

Aquí es un Equipo de Gráficos de papel buscando cónicas en Dupin cyclides, que dice Hecho #1 es bien conocido.

La Geometría de Dupin Cyclides tiene algo que decir acerca de la inversión de los conos de tori y viceversa. Fueron descubiertos por Dupin, quien era un estudiante de Gaspard Monge. Al parecer, James Clerk Maxwell estaba interesado en ellas, relacionadas con la separación de las variables de la ecuación de Laplace en 3-dimensiones.

Wikipedia dice Dupin cyclides (incluyendo el torus), son siempre los inversos de los conos de revolución. También son los inversos de los toros de la revolución (como distinta de otras superficies que son topológicamente tori).

El cono es un degenerado "cuerno" o "eje" cyclide. Este papel tiene muchas fotos de cyclides y habla acerca de Villarceau círculos un poco.

He aquí un papel en el diseño asistido por computadora, que pretende mostrar todos los cyclides vienen de tori.

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Considerar los otros análogos problema en 2D, el "cono" $x^2 - z^2 = (x-z)(x+z)=0$ tiene que ser asignada a dos disjuntos círculos $$((x-\sqrt{2})^2+ z^2 - 1)((x+\sqrt{2})^2+ z^2 - 1)= (x^2+z^2+1)^2 - 8x^2= 0$$ Ya que las inversiones son de conformación de mapas, que se va a preservar las intersecciones. Tal vez usted puede invertir alrededor de un círculo de "negativo" de la radio.

Answer 3

Aquí es como yo lo veo:

Si $x,y,z \in \mathbb{R}$ podemos establecer

$$ \begin{array}{l} \bar x = \dfrac{-2x}{x^2+y^2+(z-i)^2}, \qquad \bar y=\dfrac{-2y}{x^2+y^2+(z-i)^2} \\[6pt] \bar z = i+\dfrac{-2(z-i)}{x^2+y^2+(z-i)^2} = \dfrac{i(x^2+y^2+z^2+1)}{x^2+y^2+(z-i)^2} \end{array} $$

esta es una inversión de la real toro $$ (x^2+y^2+z^2+1)^2 = 8(x^2+y^2)$$ sobre el punto imaginario $(0,0,i)$ sobre un círculo imaginario de radio, $r = 2i$. Para esta elección particular de la radio usted puede completar el cuadrado para que $\bar x, \bar y, -i \bar z \in e^{i\theta} \mathbb{R} $ para algunos de fase $e^{i\theta} = \arg (x^2+y^2+(z-i)^2)$.

Ya que todos ellos tienen el mismo denominador, es fácil de comprobar:

$$ \bar x^2 + \bar y^2 + \bar{z}^2/2 = 0 \longleftrightarrow (x^2+y^2+z^2+1)^2 = 8(x^2+y^2) $$

Me pregunto ¿qué sucede si nos proyectamos a $y = 0$:

Si $x,y,z \in \mathbb{R}$ podemos establecer

$$ \begin{array}{l} \bar x = \dfrac{-2x}{x^2+(z-i)^2}, \hspace{0.25in} \bar z = i+\dfrac{-2(z-i)}{x^2+(z-i)^2} = \dfrac{i(x^2+z^2+1)}{x^2+(z-i)^2} \end{array} $$

esta es una inversión de los dos distintos círculos a un par de líneas:

$$ \bar x^2 +\bar{z}^2/2 = 0 \leftrightarrow (x^2+z^2+1)^2 = 8x^2 \leftrightarrow ((x - \sqrt{2})^2 + z^2 - 1 )((x + \sqrt{2})^2 + z^2 - 1 ) $$

Answer 4

Es más fácil trabajar con un cono, es una escala de círculo. El círculo es $[\sin(x),\cos(y),1]$, la escala que por $\sin(y)$ y tiene un cono. $[\sin(x)\sin(y), \cos(x)\sin(y), \sin(y)]$. Si utiliza una función para determinar el color y lo relacionan con el área, se obtiene una muy bonita de cono, de todos modos voy a volver a eso. Ahora me parece que los conos uso 2d ángulos. Si usted fuera a tomar esas longitudes de los lados y poner dentro de un semi círculo, el diámetro siempre sería 1. Una esfera es en 3d. Si usted tomó las tres longitudes de los lados y los puso en un círculo, no encajaría en un semicírculo de diámetro $1$. Usted necesita ir para arriba en un ángulo de 90 grados en el espacio 3d y es necesario utilizar la distancia de los otros dos lados con el fin de hacerlo. $$\sqrt{(\sin(x)\sin(y))^2+(\cos(x)\sin(y))}=\cos(y)$$

Hacer lo mismo con esta función $$[\sin(x)(1+(1/2)\sin(y)), \cos(x)(1+(1/2)\sin(y)), (1/2)\sin(y)]$$ Es un cono con la parte superior cortada. Si usted utiliza el color como una función del área, que rápidamente se dan cuenta de que todo está exactamente donde debe estar. Así que usted está utilizando 2d ángulos, tienes que entrar en el espacio 3d, cambie la tercera coordiniate de $(1/2)\sin(y)$ a $(1/2)\cos(y))$.

De todos modos, esa es una opinión de un inculto de la escuela secundaria de matemáticas de nivel de guy. Sé que no te gustan las opiniones, pero prohibió a mí para pedir "lo que significa" la que es una cuestión muy importante en la representación gráfica. Así que no me importa si no quieres mi opinión.