¿Por qué además de observables en mecánicos del quántum es conmutativa?

Question

No soy experto en el campo. Espero que la pregunta es adecuado para el MO.

Antecedentes/Motivación

Yo una vez seguido de una mecánica cuántica curso dirigido a los matemáticos. En lugar de la habitual motivaciones provenientes de experimento en la vuelta del siglo 19, el siguiente argumento (más o menos) fue dada para mostrar que el QM formalismo es, en cierto sentido inevitable.

Cuando uno hace la física, él está interesado en medir una cierta cantidad en un determinado estado del universo. La cantidad (es decir la velocidad de una partícula) es definido experimentalmente por la herramienta que se utiliza para hacer la medida. Definimos un instrumento de ese tipo, con una unidad de medida de un observable. Así, por cada estado y cada una de las observable obtenemos un número real.

Ahora podemos definir una suma y un producto de características observables. Estos se obtienen mediante la realización de las dos medidas y, a continuación, sumar o multiplicar sus valores. Del mismo modo podemos definir la multiplicación escalar. Estas operaciones son asociativas, pero no hay ninguna razón por qué debería ser conmutativa, ya que la realización de la primera medida que se puede (y de hecho lo hace) cambiar el estado del universo. Por alguna razón que no puedo entender, de todos modos, además se supone conmutativa. Yo también veo ninguna razón por la multiplicación se debe distribuir a través de la adición. Ahora también podemos considerar las características observables con valores complejos, por la linealidad.

En este punto observables de forma $\mathbb{R}$-álgebra. Podemos introducir una norma de la siguiente manera. La norma de un observable es el sup de los valores absolutos de la cantidad que puede ser medida. Cada instrumento tendrá una escala limitada, por lo que este es un número real. Por definición, esto es una norma. Además satisface $\|B \| \leq \|\| \ | B \|$. Ahora podemos tomar formalmente la finalización de nuestra álgebra y obtener un álgebra de Banach.

Finalmente definimos una involución * en nuestra álgebra compleja conjugación de las características observables. Esto produce un Banach * -álgebra, y la tercera suposición de que es un misterio para mí es que el $C^*$ identidad se mantiene.

Por último, podemos usar la Gelfand-Naimark el teorema de representar el dado álgebra como un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert. Si esto resulta ser separables, es isomorfo a $L^2(\mathbb{R}^3)$ y recuperamos el clásico de Schrödinger formalismo.

Los problemas

En este enfoque, veo a tres de las deducciones que parece arbitrario: la adición es conmutativa, la multiplicación es distributiva y la $C^*$ identidad se mantiene. Hay algún tipo de mano saludando que puede jusify estas? En particular

¿Por qué es la adición de características observables conmutativa, mientras que la multiplicación no es?

Answer 1

Su descripción de la estructura del álgebra de los observables no se muy bien cómo estoy acostumbrado a ser. De hecho, creo que en el mejor de los algebraicas descripciones de la mecánica cuántica, además es una forma de operación, en lugar de una operación física como lo he descrito. La mejor referencia sé que este punto de vista es L. D. Faddeev y O. A. Yakubovskii, 2009, Conferencias sobre la Mecánica Cuántica para las Matemáticas de los Estudiantes. No tengo mi copia a mano ahora mismo, así que voy a describir mi memoria de cómo configurar el álgebra de las características observables.

La primera cosa a destacar es que en el mundo real, no hay tal cosa como estados puros. Esto no tiene nada que ver con la mecánica cuántica, y todo lo relacionado con un experimentador de la imposibilidad de la perfección de la medida de la configuración inicial. Por su noción de "estado" para dar sentido físicamente, debe ser algo así como "repetible inicial para un experimento". Una vez que este es su noción de que el estado, que son perfectamente capaces de ejecutar el experimento 1000 veces, hacer sus mediciones (cada persona puede dar una respuesta diferente, pero usted puede buscar en la distribución), y el proceso de ellos como quieras.

Así que realmente es un observable asigna una distribución de probabilidad en $\mathbb R$ a cada estado. Ahora nos demanda el siguiente axioma: la (buena) funciones de $\mathbb R \to \mathbb R$ actúan en el conjunto de observables por la composición. Así que si $X: \{\text{miembros}\} \\{\text{distribuciones de probabilidad}\}$ es un observable, por lo que es de $X^2$: la probabilidad de que el observable $X^2$ asigna a un intervalo $[a,b]$ es la misma que la probabilidad de que $X$ asigna para el intervalo $[\sqrt un,\sqrt b]$. En particular, supongamos que componen su observable $X$, con una función de paso de $\Theta(x - \xi)$, donde $\xi \in \mathbb R$. A continuación, el observable $\Theta(X-\xi)$ medidas si el valor de $X$ es de más de $\xi$. A continuación, puede ver que la distribución total de $X$ es recuperable a partir del conocimiento de todas las $\Theta(X-\xi)$. En particular, es recuperable a partir de los valores esperados de $\Theta(X-\xi)$ de cada estado. Para configurar el álgebra de los observables, es suficiente para saber que sólo la expectativa de los valores observables en cada estado.

Ahora usted debe darse cuenta de la siguiente. El párrafo anterior hace sentido, incluso para la mecánica clásica, y de hecho es la correcta formalismo (ya que no hay estados puros). Pero en la mecánica cuántica, es peor que eso. Un estado definido, es uno que da un delta de distribución para cada uno de los observables. Clásicamente, creemos que una lo suficientemente buena experimentador puede aproximado definitiva a los estados a cualquier precisión deseada. Pero hay muy buena evidencia de que esto no funciona en el mundo cuántico: no importa qué herramientas utilizar, hay absoluta de los límites de la prevención de los estados de la aproximación definitiva de los estados. Así que el lenguaje de las distribuciones y de las expectativas es absolutamente necesario para formalizar la mecánica cuántica, mientras que en la mecánica clásica se podría decir que hay idealizada definitiva de los estados, los observables son funciones en definitiva los estados, y los estados son distribuciones de probabilidad en el espacio definitivo de los estados.

Por último, la pregunta es cómo asignar algebraico operaciones para la recogida de las características observables. Y aquí he de reconocer que no tengo una gran respuesta. Una posibilidad es simplemente convolución de las distribuciones de probabilidad: esto le da una conmutativa de la adición, por ejemplo. A continuación, puede definir una propiedad conmutativa asociativa de la multiplicación mediante la toma de registros y la adición y la exponenciación, pero mi memoria es que esta no se distribuye sobre la suma en general. F&Y definir una propiedad conmutativa no asociativo multiplicación por $(X,Y) = \frac12\bigl((X+Y)^2 - X^2 - Y^2\bigr)$. Oh, a la derecha. El problema es el siguiente: ¿sumar, multiplicar, etc. el distribitions, o la expectativa de los valores? Además, la adición de expectativa de valores es la misma que la de costumbre convolución de las distribuciones y, a continuación, tomar la expectativa. Pero para la multiplicación no es. No recuerdo lo F&Y, pero creo que es posible que en el nivel de expectativa de los valores.

Answer 2

Podemos pensar en un estado $\omega$ funcionales como en el álgebra de los observables de $\mathcal O$ la cual es interpretada como dando el valor esperado de cada uno de los observables. Con esto en mente, es natural que se requieren $\omega$ a ser lineal (así como otras dos propiedades habituales, la positividad y la normalización).

Así, dados dos observables $A, B \in \mathcal O$, si vamos a tener una suma de $a + B$ debe ser cierto que $\omega(a + B) = \omega(A) + \omega(B)$ para cualquier estado $\omega$. Dado que los valores de $A + B$ en cada estado, basta para definirlo. Desde $B + $ tiene los mismos valores en cada estado, $B + $ es el mismo observable.

Por otro lado, no hay forma natural de decir lo que $\omega(AB)$ debe ser, ya que los estados (como la expectativa de valores) no necesitan ser multiplicativa.

Así: conmutatividad de la observables reduce a la conmutatividad de $\mathbb C$ ya que las expectativas son lineales, pero nada análogo se aplica a la multiplicación.

Esto se basa en lo que he leído en F. Strocchi, Una Introducción a la Estructura Matemática de la Mecánica Cuántica.

Tenga en cuenta que usted puede finalmente interpretar los estados como los derivados de las distribuciones de probabilidad, que conduce a Theo comentarios.

Personalmente creo que todavía estoy un poco confusa sobre por qué postulamos una multiplicación en función de características observables, cuando (a diferencia de la clásica caso) no hay una clara interpretación física de lo que una operación de ese tipo. Sin embargo, dada la estructura completa de un $C^*$-álgebra, uno puede demostrar que el principio de incertidumbre (o de la existencia de complementariedad observables) requiere no conmutativa de la multiplicación, et voila, usted tiene la mecánica cuántica.

Answer 3

Esta pregunta me ha molestado durante mucho tiempo! Aunque no tengo una respuesta, me gustaría mencionar un enfoque que parece prometedor al principio, pero resulta que no trabajan.

En primer lugar, recordemos que en la mecánica cuántica, se puede pensar en un "estado" como una manera de preparar un sistema físico. Theo Johnson-Freyd señaló en un comentario que si se tienen dos estados $\rho$ y $\sigma$, usted puede construir un estado que intuitivamente se merece ser llamado $\tfrac{1}{2}(\rho + \sigma)$:

Voltear una moneda. Si la moneda sale cara, preparar el sistema en el estado $\rho$. Si la moneda sale de las colas, preparar el sistema en el estado $\sigma$.

Este estado se merece el nombre de $\tfrac{1}{2}(\rho + \sigma)$ porque si $\rho[X]$ es la expectativa de valor de los observables $X$ para un sistema preparado en el estado $\rho$ y $\sigma[X]$ es la expectativa de valor de $X$ para un sistema preparado en el estado $\sigma$, la expectativa de valor de $X$ para un sistema preparado en el estado $\tfrac{1}{2}(\rho + \sigma)$ debe $\tfrac{1}{2}(\rho[X] + \sigma[X])$, por las leyes de la clásica de la probabilidad.

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Ahora, ¿qué pasa si queremos usar el mismo truco para definir la suma de dos observables? Dadas dos variables observables $X$ y $Y$, vamos a definir $X + $ Y a la observables:

Voltear una moneda. Si la moneda sale cara, medida $X$ y el doble del resultado. Si la moneda sale de las colas, a medida $Y$ y el doble del resultado.

Las leyes de la clásica de la probabilidad nos dice que si $\rho[X]$ y $\rho[Y]$ están a la expectativa de los valores de $X$ y $Y$ para un sistema preparado en el estado $\rho$, la expectativa de valor de $X + $ Y para un sistema preparado en el estado $\rho$ debe $\rho[X] + \rho[Y]$, como te gustaría.

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Aquí es donde las cosas van en forma de pera. Dado un observable a $Z$, tiene sentido definir $Z^2$ a ser la observables:

Medida $Z$ y cuadrado el resultado.

Así que ¿cuál es la expectativa de valor de $(X + Y)^2$ para un sistema preparado en el estado $\rho$? Las leyes de la clásica de la probabilidad nos dice que $\rho[X^2] + \rho[Y^2]$. En el formalismo de la mecánica cuántica, sin embargo, $X$ y $Y$ son operadores y $\rho$ es un funcional lineal en el operador de espacio, por lo que

$\rho[(X + Y)^2] = \rho[X^2] + \rho[Y^2] + \rho[XY + YX]$.

Si $\rho[XY + YX]$ es distinto de cero, esta fórmula no está de acuerdo con la expectativa de que el valor de $(X + Y)^2$, que se desprende de las definiciones de $X + $ Y y $Z^2$, de acuerdo a las leyes de la clásica de la probabilidad!

En la práctica, no es difícil encontrar observables de $X$ y $Y$ que $\rho[XY + YX]$ puede ser distinto de cero. Por ejemplo, supongamos que $X$ y $Y$ ser el x-spin y z-spin de un spin-partículas de 1, representado por los operadores

$X = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\\\1&0&1\\\\0&1&0\end{array}\right],\qquad Y = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\\\0&0&0\\\\0&0&-1\end{array}\right].$

Answer 4

La introducción se describen básicamente es una reminiscencia de los viejos principios de la mecánica cuántica, de todos modos en el enfoque que usted representa es la culminación y no la premisa de la construcción, y el comentario fue sin duda la intención de ser explicativo del origen remoto de esta opción. Yo ahora intentar reanudar la historia.

Básicamente hay dos métodos matemáticos de la mecánica cuántica. La primera de ellas muy complejas y estratificadas en su desarrollo, pero simple en la premisa fue discutido por John Von Neumann en un montón de papeles después de la "Fundación de la mecánica cuántica", la segunda es básicamente conceveid a ser una extensión de la primera, y es que este segundo enfoque se refiere a: el GNS enfoque.

De todos modos ambos son, sin duda, deriva después de un proceso de abstracción muy lejos principio en los métodos de la mecánica clásica, de la articulación de la más reciente evidencia de atómica y física de partículas de la primera de la mecánica cuántica.

Así como en la mecánica clásica definimos las funciones de los observables de las dinámicas de cantidad, por lo que los fundadores de la mecánica cuántica concebido es posible en la mecánica cuántica, de todos modos tenemos que aclarar en qué sentido esto es posible y la explicación no está completamente agotado de la ingenua extensión de la teoría clásica de la medida, basado en los números reales, pero se necesita de una clara axiomático y este estaba amueblada de John Von Neumann (y de alguna manera de Heisenberg, Dirac, y de Schroedinger antes de que él formuló esta axiomática)

De todos modos, al igual que en la mecánica clásica existe una noción de repetibilidad y regularidad, así que no hay en la mecánica cuántica. La verdadera diferencia está en el resultado de las medidas, determinista clásica, probabilístico de la mecánica cuántica. Así que miden los procesos son concebidos determinista en un sentido estadístico, y, por ejemplo, el componente de energías de la isotrópica oscilador armónico sumas exactamente en el valor de la media, pero la varianza es cero si el considera que los estados son estados propios. Edad de la mecánica cuántica puede ser fundada en pocos axiomas sobre las medidas y llevó a Von Neumann, de una manera natural lineal de operadores que actúan, como no conmutativa álgebra, en espacios de Hilbert.

En el fin de conceder el principio de correspondencia nosotros, a raíz de los fundadores de la mecánica cuántica, la necesidad de la hipótesis de la existencia de intrínsecamente determinista evolución observable, y sólo el proceso de medida marcar la diferencia, porque estas dinámicas de "cantidades" con respecto a las medidas que no aparecen como números reales, este punto fue la primera vez que se dio cuenta de algo de tiempo después de la Copenaghen interpretación fue desarrollado.

Así que se supone que, después de Heisenberg (hablando de no conmutativa números) y Jordania (hablando de matrices), y de Schroedinger (hablando de los operadores que actúan en el espacio funcional de la probabilidad) todos estos tres puntos de vista se mostró a estar en un cierto marco estricto equivalente, de Dirac asumiendo que son algebraicas elementos obediencia canónica de la conmutación de la relación de generalización de la distribución de Poisson álgebra.

En resumen, el punto de Dirac puede resumirse en el supuesto de un espacio de Hilbert de la estructura de los estados, y en el desarrollo paso a paso de una teoría de observables compatibles con la Copenaghen interpretación espíritu y con el principio de correspondencia.

De todos modos Von Neumann sentía la necesidad de obtener una axiomática de la fundación basado en más general de álgebras de operadores, y una axiomática de la medida, la unificación de cero la teórica marco, en el hecho de que la obtención de una teoría más general con respecto a la de Heisenberg y Dirac teórico "prejuicios". El Von Neumann punto fue, de hecho, basado en la teoría de la representación en el marco geométrico de Banach operador de álgebras de operadores en el espacio de Hilbert, y en particular en el CCR irreductible teoría de la representación, pero a partir de este punto de la investigación de Von Neumann continuó en la búsqueda de una intrínseca punto de vista basado en la geometría de los observables.

Después de la hora que era, de hecho, reconoce que parte de la teoría cuántica de la medida no es otra cosa luego de una generalizada probabilística de la teoría en un álgebra de Banach y la configuración general de Gelfand Najmark Segal construcción reconstruir intrínsecamente los espacios de Hilbert. De todos modos el campo de extensión de esta configuración es muy problemático y una jerarquía de espacios de Hilbert aparece. De todos modos, de esta manera, el círculo se cierra y un nuevo bucle abierto: en el GNS enfoque de la mecánica cuántica postulamos que los operadores están viviendo en un álgebra abstracta, obedeciendo familiar de reglas de un álgebra con una involución (la * operación). A través de Gelfand teorema de la conmutativa caso llevó a la álgebra de complejo de valores de funciones continuas en un Hausdorf espacio, el espectro de la álgebra (que se llevó el ordinario numérico conjunto de coordenadas de la mecánica clásica), y, más en general, a una teoría espectral, que culmina en el GNS de la construcción, que se asocian a una determinada forma lineal en un espacio de Hilbert y una representación para el álgebra.

De todos modos, el verdadero logro de este enfoque es la red de álgebras, que es muy más general con respecto al espacio de Hilbert interpretación de la mecánica cuántica,este logro es útil en la teoría de campo relativista y conduce a muy lejos de alcanzar resultados en primer lugar parcialmente descubierto por Von Neumann en algunos papeles, y después de, a continuación, desarrollado a partir de Araky, Haag, Kastler. En esta configuración completa ahora es posible abordar en términos más precisos, la cuestión de la descomposición en clústeres principio implícito en el determinista esquema evolutivo, y la cuestión de la repetibilidad del principio de la clásica y la mecánica cuántica, y para entender cuantitativamente algo acerca de la limitación, derivado del cambio del estado del universo, a este principio, que puede ser espressed, por ejemplo, en el plazo de un cambio de representación, becaused a partir de la modificación de la forma lineal que representa el thermokinetic estado de "universo", sin ningún cambio en los postulados de la teoría cuántica de campos y la derivada de la mecánica cuántica. Esta es quizás la perspectiva de la búsqueda acerca de KMS teorema.

No estoy muy satisfecho de este currículum, de todos modos creo que se puede corregir y se integran en ella, y espero a leer y a escribir algo más preciso y delimitado.

Answer 5

Desde que se planteó su pregunta me siento incómodo sobre alguna cuestión, y me re-lectura de Von Neumann, con el fin de becalm mí, de todos modos en Von Neumann el problema no está resuelto en un deductivo de modo que ni se justifica en absoluto, sólo se afirma la aditividad, como de costumbre, entre commutating operadores (el principio de correspondencia se concede) y, a continuación, la aditividad es extnded no commutating operadores.

De todos modos, reflexionando sobre el uso práctico de la no commutating combinación lineal de los operadores me doy cuenta de que los argumentos de la combinación lineal son generalmente elementos de algunas Mentira Álgebra y sus poderes, y recuerdo que un punto en el primer libro de Landau acerca de la mecánica clásica que me gusta citar:

Leyes de conservación.

"No todas las integrales de movimiento tienen igualmente un papel relevante en la mecánica. Entre estos hay algunos cuya permanencia en el tiempo tiene un origen muy profundo, relacionado con las propiedades fundamentales del espacio y del tiempo y que es su homogeneidad e isotropía. Estos cantidad, estos conservadores, tienen un importante general de la propiedad, que son aditivos, es decir, su valor para un sistema compuesto de varios elementos, cuya interacción puede ser descuidado, es igual a la suma de los valores para cada uno de los elementos."

Parece como Landau es mixign dos no relacionados puntos: la isotropía y la conmutatividad. En realidad, esta no es la aditividad estamos pensando. De todos modos hay un punto importante: y este es el papel de simmetry y en matemáticas el papel de la Piedra-Neumann Teorema, y la función de transporte paralelo, y en matemáticas la función de medir el tiempo y el espacio, por lo que podemos perahps volver a conectar los dos puntos que se plantea por Landau a la aditividad de las características observables.

Generalizando, tal vez necesitamos relacionarnos de un observable a un infinitesimal de una continua grupo de simetría: un elementar generador de álgebra de la mentira para justificar la aditividad. Sólo handwaving.

¿Qué piensa usted acerca de esto?