Cómo probar si una determinada curva elíptica tiene complejo de la multiplicación

Question

Hay un general, razonablemente fácil de entender, algoritmo para probar si una curva elíptica tiene CM? Por ejemplo, considere la curva $y^2=x^3+\frac{27}{1727}x+\frac{54}{1727}$

Esto ha j-invariante 1, que en particular es un entero algebraico. Hay una buena manera de ver que esto no tiene CM?

[Yo preferiría una respuesta que da a un procedimiento general, más que un truco que funciona para que la curva específica.]

Answer 1

No estoy seguro de todos los detalles, pero debe existir un algoritmo como el Sabio sabe cómo comprobar el complejo de la multiplicación.

sage: E = EllipticCurve([27/1727, 54/1727])

sage: E.has_rational_cm()
False

Y usted puede conseguir todas las $j$-invariantes de curvas elípticas definidas sobre $\mathbb{Q}$ con complejo de la multiplicación de esta manera

sage: cm_j_invariants(QQ)

[-262537412640768000, -147197952000, -884736000, -12288000, -884736, -32768, -3375,
 0, 1728, 8000, 54000, 287496, 16581375]

que al menos te de la prueba muy simple que iba a decirle que su $j$-invariantes-de una curva no tiene complejo de la multiplicación.

Tal vez con esta información usted puede mirar en el algoritmo funciona de verdad.