Variación de resistencias en paralelo

Question

Suponga que tiene un conjunto de resistencias R, todos de los cuales son distribuidos con media µ y varianza σ.

Considere la posibilidad de una sección de un circuito con la siguiente distribución: (r) || (r+r) || (r+r+r). La resistencia equivalente de cada parte es r, 2r y 3r. La varianza de cada sección, entonces sería $σ^2$, $2σ^2$, $3σ^2$.

¿Qué es la variación en la resistencia de todo el circuito?

Después de probar varios millones de puntos, se encontró que la varianza es de aproximadamente $.10286\sigma^2$.

¿Cómo podemos llegar a esta conclusión analíticamente?

Edit: los valores de Resistencia se supone que se distribuye normalmente con media resistencia r y de la varianza $σ^2$.

Answer 1

La resistencia equivalente $R$ de todo el circuito se resuelve $$ \frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}. $$ Se supone que las $R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$, para algunas variables aleatorias independientes $Z_i$, centrada y con varianza $1$.

Sin más indicaciones, no se puede calcular la varianza de $R$, por lo tanto, ir más allá, consideramos que el régimen en el que $$ \color{red}{\sigma\ll\mu}. $$ A continuación, $$ \frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{los términos de orden superior}, $$ por lo tanto $$ \frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{los términos de orden superior}, $$ donde $$ a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}. $$ Uno ve que $$ \mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}. $$ Además, $$ R=\frac{\mu}-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{los términos de orden superior}, $$ Por lo tanto, en el límite de $\sigma\to0$, $$ \mathrm E(R)\approx\frac{\mu}=\frac6{11}\mu, $$ y $$ \text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots $$ Estos asymptotics de $\mathrm E(R)$ $\text{Var}(R)$ se puede generalizar a cualquier número de resistencias en paralelo, cada uno siendo el resultado de $n_i$ primaria resistencias en serie, en la escuela elemental de las resistencias de ser independientes y cada una con una media de $\mu$ y la varianza $\sigma^2$. Entonces, cuando $\sigma\to0$, $$ \mathrm E(R)\a\frac{\mu},\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\a\frac{b}{a^4}, $$ donde $$ a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}. $$

Answer 2

Esto depende de la forma de la distribución de la resistencia. Sin conocer la distribución, ni siquiera puedo decir que el promedio de la resistencia, aunque creo que hay limitaciones.

Así que, vamos a escoger una distribución que es tractible: Vamos a $s$ ser la desviación estándar de la resistencia de un resistor. Deje que la resistencia se $\mu \pm s$, con cada uno de los signos que ocurren con probabilidad de $1/2$. Esto nos da $2^6 = 64$ de los casos a considerar, o $2 \times 3 \times 4=24$ si se combinan algunos casos. Por supuesto, vamos a suponer que las resistencias son independientes.

Si elegimos $\mu = 100$$s=1$, entonces la media es $54.543291$ (ligeramente inferior a $100 \times \frac{6}{11}$), y la varianza es $0.102864$. Si elegimos $\mu = 5$$s=1$, entonces la varianza es $0.103693$.

Aquí es un poder de expansión de la serie de las relaciones entre las variaciones cuando la media es $1$ y la varianza es $x$: $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$. Al $x$ es pequeña, el dominante plazo es $\frac{1506}{14641} = 0.102862$.

Mientras que la pregunta que uno se hace técnicamente depende de la distribución, usted está probablemente interesado en situaciones donde la desviación estándar es pequeña en comparación con la media, y creo que no hay un límite definido que no dependen de la distribución. Alinear la dependencia del circuito de la resistencia como una función de las resistencias de cada pieza:

$$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$$

$$ \approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$$

$$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2 $$

Con este circuito, la escala derivadas parciales se $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121} $, y

$$ \bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$$

Answer 3

No creo que la respuesta exacta depende sólo de $\mu$$\sigma^2$. Cuando se muestrea, supongo que debe haber utilizado algunos de distribución de hormigón – probablemente una distribución normal? En cualquier caso, podemos calcular la media y la varianza de la resistencia del circuito en la aproximación lineal y, a continuación, la forma exacta de la distribución es irrelevante.

La resistencia del circuito es $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$. En la aproximación lineal, la media y la varianza de la inversa de una variable aleatoria con una media de $\mu$ y la varianza $\sigma^2$$1/\mu$$\sigma^2/\mu^4$, respectivamente. Así pues, tenemos una suma de términos, con los medios de $1/\mu$, $1/(2\mu)$ y $1/(3\mu)$ y las variaciones $\sigma^2/\mu^4$, $\sigma^2/(8\mu^4)$ y $\sigma^2/(27\mu^4)$, respectivamente, lo que equivale a una media de $\frac{11}6/\mu$ y una variación de $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$. Luego de tomar el recíproco de la que se obtiene una media de $\frac6{11}\mu$ y una variación de $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$, de acuerdo con el resultado.

Answer 4

Advierto que, como he razonado, esta es una respuesta larga, pero tal vez alguien puede subir con algo mejor a partir de mi intento (que puede no ser la óptima). También, he leído mal el original de la OPs pregunta y pensé que dijo que las resistencias donde se distribuye normalmente. Voy a dejar la respuesta de todos modos, pero eso es una suposición subyacente.

1. Física razonamiento del problema

Mi razonamiento es el siguiente: recordemos que, por las resistencias que están en paralelo, la resistencia equivalente $R_{eq}$ está dada por:

$$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$$

donde $R_i$ son las resistencias de cada parte del circuito. En su caso, esto nos da

$$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$$ donde $R_1$ es la parte del circuito con 1 resistencia, y por lo tanto tiene una distribución normal con media de $\mu$ y la varianza $\sigma^2$, y por el mismo razonamiento $R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$ es la resistencia equivalente de la parte del circuito con dos resistencias y, por último, $R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$ es la resistencia equivalente de la parte del circuito con tres resistencias. Usted debe encontrar la distribución de $R_{eq}$ y a partir de ahí obtener la varianza de la misma.

2. La obtención de la distribución de $R_{eq}$

Una forma de encontrar la distribución es por señalar que: $$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$$ A partir de aquí, tomamos nota también de que podemos escribir $$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$$ (which was obtained via the Bayes Theorem), which, assuming independance between $R_1$, $R_2$ and $R_3$ (which is physically plausible), can be written as $$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$$ Sustituyendo esto en $(1)$ y señaló que otra de las consecuencias de la independencia entre los tres resistencias es que $p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$, obtenemos: $$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$$ Nuestro último problema, entonces, es encontrar $p(R_{eq}|R_3)$, es decir, la distribución de la r.v. $R_{eq}|R_3$. Este problema es similar a la que hemos encontrado aquí, excepto que ahora reemplaza $R_3$ en eq. $(*)$ por una constante, digamos, $r_3$. Siguiendo los mismos argumentos como el anterior, se puede encontrar que $$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$$ Al parecer, el resto es la sustitución de las conocidas distribuciones, excepto por un pequeño problema: la distribución de los $R_{eq}|R_2,R_3$ puede ser obtenida a partir de a $(*)$ señalando que $X_1$ es gaussiano, por lo que, básicamente usted necesita para encontrar la distribución de la variable aleatoria $$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$$ donde $a$ $b$ son constantes, y $X$ es gaussiano con media de $\mu$ y la varianza $\sigma^2$. Si mis cálculos son correctos, esta distribución es: $$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$$ donde, $$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$$ por lo $R_{eq}|R_2,R_3$'s de distribución sería $$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$$ donde$a=1/R_2$$b=1/R_3$. La cosa es que no sé si este es analíticamente manejable con el fin de resolver la integral en la ecuación de $(3)$, que luego nos llevará a resolver el poblem por sustitución del resultado en la ecuación de $(2)$. Al menos para mí en este momento de la noche no lo es.