La pregunta sobre una prueba en Evans

Question

En la página 57. en la Ecuación Diferencial Parcial de Lawrence C. Evans, prueba el principio máximo para el problema Caucásico de la ecuación del calor, es decir (cito)

Supongamos que $u \in C^2_1( \mathbb {R}^n \times (0,T]) \cap C( \mathbb {R}^n \times [0,T])$ resuelve $u_t- \Delta u= 0$ en $ \mathbb {R}^n \times (0,T)$ y $u=g$ en $ \mathbb {R}^n \times \{t=0\}$ . Además, u satisface la estimación de crecimiento

$$u(x,t) \le Ae^{a|x|^2}$$

para $x \in\mathbb {R}^n,0 \le t \le T$ para las constantes $A,a>0$ . Luego

$$ \sup_ { \mathbb {R}^n \times [0,T]}u = \sup_ { \mathbb {R}^n}g$$

En la prueba que definen $v(x,t):=u(x,t)- \frac { \mu }{(T+ \epsilon -t)^ \frac {n}{2}} \exp { \frac {|x-y|^2}{4(T+ \epsilon -t)}}$ La prueba consiste en varios pasos. Primero se muestran para $4aT<1$ que

1. $ \max_ { \overline {U_T}} v= \max_ { \Gamma_T }v$ donde $U_T:=B^0(y,r) \times (0,T]$ para el fijo $r>0$ .
2. Si $x \in \mathbb {R}^n$ entonces $v(x,0) \le g(x)$

Ahora en la ecuación $(29)$ dicen: para $r$ seleccionado lo suficientemente grande, hemos $v(x,t) \le A \exp {a(|y|+r)^2}- \mu (4(a+ \gamma ))^{ \frac {n}{2}} \exp {(a+ \gamma )r^2} \le \sup_ { \mathbb {R}^n}g$ . ¿Por qué todo esto es menos o igual que el supremo de $g$ para los grandes $r$ ?

¿Y por qué podemos concluir con todos estos hechos, que $v(y,t) \le \sup_ { \mathbb {R}^n} g$ para todos $y \in \mathbb {R}^n$ y $0 \le t \le T$ ?

Answer 1

Supongo que fui capaz de resolverlo por mí mismo. Todo lo que tienes que hacer es escribir la expresión de una manera agradable:

$$v(x,t) \le A \exp {(a(|y|+r)^2)}- \mu (4(a+ \gamma ))^{ \frac {n}{2}} \exp {((a+ \gamma )r^2)}= \exp {((a+ \gamma )r^2)}[(- \mu (4(a+ \gamma ))^{ \frac {n}{2}}+A \exp {(- \gamma r^2+2ar|y| + a|y|^2)]}$$

Esto converge en $- \infty $ como $r \to \infty $ y la conclusión es la siguiente.

Ya sabemos que el máximo se alcanza en el "límite" $ \Gamma_T $ y hemos encontrado un límite de $v$ por (el supremo) de $g$ en $ \Gamma_T $ .