Como resultado de la respuesta que obtuve para esta pregunta - Soluciones irracionales de algunas ecuaciones en dos variables - Me preguntaba si la siguiente afirmación es siempre cierta:
Dejemos que $x,y$ sea real, irracional números tales que $x+y\ne0$ . Y que $n_1,n_2,n_3$ sean algunos enteros positivos (diferentes entre sí) tales que $\gcd(n_1,n_2,n_3)=1$ .
Demuestra (o encuentra un contraejemplo) que si: $$x^{n_1}+y^{n_1}$$ $$x^{n_2}+y^{n_2}$$ $$x^{n_3}+y^{n_3}$$ son todos números racionales, entonces también ambos: $$x+y$$ $$xy$$ tienen que ser números racionales.
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Al menos necesitas $d= \gcd(n_1, n_2, n_3)$ para ser $1$ . De lo contrario, algo como $x=\sqrt[d]{2},y=\sqrt[d]{3}$ sería un contraejemplo.
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Tienes razón, lo editaré en un momento.
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Esto es válido para el triple $(2,3,4)$ .
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Y para $(2,3,5)$ ... bueno, digamos que esto tiene una dificultad similar a su último problema.
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Creo que esto es cierto
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La condición de que $x+y$ y $xy$ son racionales equivale a decir que son las raíces de un cuadrático con coeficientes racionales ( $z^2 - (x+y)z + xy$ en particular) y por lo tanto que, para algunos racionales $p$ y $q$ que $x=p+\sqrt{q}$ y $y=p-\sqrt{q}$ .
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@mercio ¿Por qué? Me está costando mucho tener una buena intuición sobre este problema.
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Sospecho que un paso necesario es, si dejamos $f(n)=x^n+y^n$ debe haber alguna relación algebraica entre $f(n_1),f(n_2)$ y $f(n_3)$ ya que conociendo dos, el otro sólo puede tomar un número finito de valores, es decir, un polinomio $P(f(n_1),f(n_2),f(n_3))=0$ . No es obvio para mí cuál debe ser esta relación, ya que la única relación que conozco es $f(a+b)=f(a)f(b)-(xy)^af(b-a)$ , pero eso introduce $(xy)^a$ como variable, lo cual es problemático.
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@Slade : mi evidencia anecdótica sobre todos los $n1<n2<n3<10$ casos. También la regularidad de $[K(x^n+y^n,x^m+y^m) : K(x+y,xy)]$ que es $nm$ cuando uno de ellos está empatado.
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Quise decir $nm/2$ ...