Demostrar $\frac{1+a^{2}}{1+b+c^{2}} +\frac{1+b^{2}}{1+c+a^{2}} +\frac{1+c^{2}}{1+a+b^{2}} \geq 2$

Question

Para Números enteros positivos $a, b, c $ demostrar que $$\frac{1+a^{2}}{1+b+c^{2}} +\frac{1+b^{2}}{1+c+a^{2}} +\frac{1+c^{2}}{1+a+b^{2}} \geq 2$$ Esta desigualdad anterior tomar mucho tiempo para probarlo y todavía no podía completar. ¿Cómo puedo probar esta desigualdad? Cualquier sugerencia será de ayuda. Gracias

Answer 1

La desigualdad anterior se cumple para cualquier positivo real en los números de $a,b,c$.

De hecho, denotan $x=1+b+c^2,y=1+c+a^2,z=1+a+b^2$, la desigualdad se convierte en $$\frac{y-c}{x} + \frac{z-a}{y} + \frac{x-b}{z} \ge 2,$$ o, equivalentemente, $$\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} \ge 2 + \frac{c}{x} + \frac{a}{y} + \frac{b}{z}.$$ Por AM-GM de la desigualdad: $$\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} \ge \sqrt[3]{\frac{y}{x} \frac{z}{y} \frac{x}{z}} =3.$$ Queda por demostrar $$\frac{c}{x} + \frac{a}{y} + \frac{b}{z} \le 1.$$ Desde $x\ge 2c+b,y\ge 2a+c,z\ge 2b+a$ sólo tenemos que demostrar que $$\frac{c}{2c+b} + \frac{a}{2a+c} + \frac{b}{2b+a} \le 1,$ $ , que es equivalente a $$\left(\frac{c}{2c+b} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{a}{2a+c} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{b}{2b+a} - \frac{1}{2}\right) \le 1 - \frac{3}{2}$$ o $$\frac{b}{2c+b} + \frac{c}{2a+c} + \frac{a}{2b+a} \ge 1.$$ La última desigualdad se cumple por Cauchy-Schwarz desigualdad: $$\sum\frac{a}{2b+a} = \sum\frac{a^2}{2ab+a^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum (2ab+a^2)}=1.$$ Hemos terminado.

Answer 2

Desde $$\sum_{cyc}(1+a^2)(1+b+c^2)\sum_{cyc}\frac{1+a^2}{1+b+c^2} \ge \left(\sum_{cyc} (1+a^2)\right)^2,$$ sólo tenemos que demostrar que $$\left(\sum_{cyc} (1+a^2)\right)^2\ge 2\sum_{cyc}(1+a^2)(1+b+c^2).\tag{1}$$ El LHS es $$\begin{aligned}2\sum_{cyc}(1+a^2+b+a^2b+c^2+a^2c^2)&= 6+4(a^2+b^2+c^2)+2(a^2b+b^2c+c^2a)\\ &+2(a+b+c)+2(a^2c^2+c^2b^2+b^2a^2). \end{aligned}\etiqueta{2} $$ El lado derecho es $$(3+a^2+b^2+c^2)^2=9+6(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)^2.\tag{3}$$ Comparar (2) y (3), vemos que (1) es equivalente a $$a^4+b^4++c^4+2(a^2+b^2+c^2)+3\ge 2(a^2b+b^2c+c^2a)+2(a+b+c).\tag{4}$$ La última desigualdad es evidente a partir de AM-GM: $$a^4+b^2\ge 2a^2b,\dots$$ y $$a^2+1\ge 2a,\dots$$ Para finalizar la prueba, se nota que la igualdad ocurre en (4) sólo cuando $a=b=c=1$, lo que también produce la igualdad $$\sum_{cyc}\frac{1+a^2}{1+b+c^2}=2.$$